주파수 밀도 및 소음
이전 기사에서 우리는 간단한 사례, 즉 진폭 변조 사인파 신호를 고려했습니다. 샘플링/절단을 수행한 후 푸리에 스펙트럼에서 단일 주파수, 즉 사인파 진동의 존재를 쉽게 확인할 수 있습니다. 더 복잡한 프로세스의 경우 더 많은 주파수가 존재할 것으로 예상됩니다. 질문은 "무한한 주파수가 존재한다는 의미에서 푸리에 스펙트럼이 무한히 밀도가 높은 신호/프로세스가 있는가?"입니다.
언뜻 보기에 병리적 사례가 있는 것처럼 보이지만 실제로 이러한 과정은 매우 널리 퍼져 있습니다. 우리는 잡음 에 대해 이야기하고 있습니다 . 예를 들어, 그림 1은 백색 잡음의 전형적인 푸리에 스펙트럼(분산 1, 평균값 0)을 보여줍니다. 평소와 같이 유의한 스펙트럼은 샘플링 인덱스의 0에서 1,000까지 확장됩니다(빈도 값과 혼동하지 마십시오). 스펙트럼의 두 번째 부분은 첫 번째 부분의 복제본입니다.
통계 분석 - 정상성과 에르고딕성
백색 잡음은 시간의 함수로 가정된 x ( t ) 값이 100% 상관관계가 없기 때문에 특이합니다 . 따라서 스펙트럼에 무한한 주파수가 존재합니다. 수학적으로 백색 잡음은 모든 지점에서 유한한 불연속성을 갖는 함수이므로 예측할 수 없습니다. 대안적인 해결책은 x ( t )를 주어진 순간 t 에 대해 양 x가 여러 값을 가질 수 있다는 의미에서 고유하지 않게 정의된 함수로 표현하는 것입니다.
이 시점에서 무작위 프로세스를 설명하는 데 있어 승리하는 전략은 통계적 접근 방식을 사용하는 것이 분명해 보입니다 . 소위 정상 프로세스를 고려하면 주목할 만한 단순화가 달성됩니다. 주어진 x 값을 찾을 확률은 시간에 따라 달라지지 않습니다. 다음 단계는 단일 프로세스가 아니라 검토 중인 프로세스의 매우 많은(최대 무한) 정신적 사본을 고려하는 것입니다 . 확률의 분석적 표현을 알고 있다면 x 의 통계적 평균을 수행할 수 있으며, 이는 일반적으로 ⟨ x ⟩ 로 표시됩니다 . 이 계산은 x 의 시간 평균을 결정하는 당혹스러운 문제를 피합니다 . 사실, 평균값의 정의에 따르면:
이 계산은 두 가지 이유로 비실용적입니다.
- x ( t )는 일반적인 의미의 함수가 아니다.
- 물리적으로 한계에 도달하는 작업은 무한히 큰 관찰/측정 시간 T 로 변환됩니다 .
바로 이 마지막 상황이 은쟁반에 해결책을 제시합니다. 무한한 시간 안에 프로세스는 모든 가능한 구성 또는 통계적 샘플의 모든 정신적 사본을 거칩니다. 다시 말해, 통계적 평균 ⟨ x ⟩이 시간적 평균과 일치한다는 결론을 내리게 됩니다(방정식 1). 이 속성은 에르고딕성 으로 알려져 있습니다. 따라서 에르 고딕 프로세스는 이 흥미로운 속성을 보입니다. 수학적으로 주어진 프로세스의 에르고딕성을 확립하는 것은 매우 어렵습니다. 경험적으로 보면 물리적으로 흥미로운 대부분의 무작위 프로세스는 에르고딕합니다.
자기상관 함수 - Wiener-Khintchine 정리
그림 1에서 우리는 평균 값이 0인 백색 잡음의 푸리에 스펙트럼을 가지고 있습니다. 수학적 편의를 위해, 우리는 항상 ⟨ x ⟩가 0이 아니더라도 이 값을 다양한 표현식에서 빼서 이전 사례를 재현할 수 있다는 의미에서 이 조건에 도달합니다. 따라서 분산의 정의에 따르면 다음과 같습니다. σ 2 = ⟨ x 2 ⟩; 하지만 이것은 총 신호 강도에 불과합니다. 이제 τ가 시간 변수의 역할을 하는 것에 관계없이 거듭제곱 ψ ( τ ) = ⟨ x (0) x ( τ )⟩ 의 차원을 가진 다음 양을 고려해 보겠습니다. ψ (0)이 분산인 것은 분명하지만 , 다른 시간에는 개별 값 x (0)과 x ( τ ) 가 어떻게 "상관관계"를 갖는지 알려줍니다 . 백색 잡음의 경우 다음과 같습니다.
이러한 객체를 표현하기 위해 Dirac δ 함수는 다음과 같이 도움이 됩니다. ψ ( τ ) = σ 2 δ ( t ), 이는 통합이 필요한 ψ (0)을 재생성하지 않더라도 마찬가지입니다 . 알다시피, Dirac 델타의 푸리에 변환은 상수 함수이므로 (2)의 푸리에 변환은 "평평"하며 이는 각 주파수가 신호 전력에 동일한 가중치를 부여하기 때문에 백색 잡음의 전력 스펙트럼에 대해 정확히 예상되는 것입니다.
이러한 결론은 일반적인 성격을 갖습니다. 즉, 모든 에르고딕 과정 x ( t )에 유효합니다. 자기상관 함수로 알려진 객체 ψ ( τ )와 x ( t )의 파워 스펙트럼 간의 연결은 유명한 Wiener-Khintchine 정리 의 진술을 구성합니다 . 즉, x ( t ) 의 자기상관 함수의 푸리에 변환은 x ( t ) 의 파워 스펙트럼입니다 .
Mathematica 의 자기상관 함수
Mathematica는 백색 잡음을 시뮬레이션한 다음 전력 스펙트럼과 자기 상관 함수를 결정할 수 있는 가능성을 제공합니다. 이 환경에서 각 명령어는 인수가 패턴인 "함수"로 간주되므로 목록이 될 수도 있습니다. 따라서 PowerSpectrum[x List] 함수를 정의합니다. 여기서 밑줄은 Mathematica 커널에 x가 "목록"인 한 무엇이든 된다는 것을 알립니다. 간단히 말해 x는 시계열(샘플링되고 잘린 신호)입니다. 그런 다음 코드 블록 내부의 명령어가 뒤따라 변환 자체의 복소수 켤레에 의한 푸리에 변환의 곱을 실행합니다(전력 스펙트럼의 정의에 따라).
Wiener-Khintchine 정리에 따르면 자기상관 함수는 파워 스펙트럼의 역변환입니다. 따라서 Correlate[x List] 함수를 정의합니다. 예를 들어, 백색 잡음의 경우 그림 2의 추세를 얻을 수 있으며, 여기서 0이 아닌 시간에는 상관 관계가 없음을 알 수 있습니다.
소수의 경우
Mathematica를 사용한 스크립트의 응용 사례로서, 우리는 소수의 분포를 연구합니다. 정확히 말해서, 첫 번째 n 번째를 p n 으로 표시하고 , 우리는 시퀀스를 정의합니다:
이는 연속적인 경우의 미분과 동일합니다. n ≫ 1에 대해 { δ n }을 그래프로 표시하면 백색 잡음 유형의 추세를 얻을 수 있습니다. 이는 그림 3과 그림 4에서 볼 수 있듯이 Giovanni Di Maria 가 Octave에서 확인했습니다 .
따라서 소수의 분포는 백색 소음이나 위너 과정 의 적분입니다 .