신호 샘플링 – 아날로그/디지털 인터페이스로서의 디랙 빗
앨리어싱 현상은 푸리에 변환 X ( f )가 알려져 있다고 가정되는 아날로그 신호 x ( t ) 의 소위 샘플링의 결과입니다 .
"샘플링"이란 다음을 의미합니다. 일정한 시간 간격 T c ( 샘플링 시간 )에서 신호를 측정하여 x n = nT c , 값을 얻습니다. 여기서 정수 n은 적절한 범위(이상적으로는 무한대)에서 변합니다. 신호 x ( t )와 T c = 0 .5 초 에 대한 해당 샘플링은 각각 그림 1과 그림 2에 나와 있습니다.
이전 기사 에서 , 우리는 푸리에 변환이 함수로 존재하지 않고 분포로 존재하는 신호 클래스의 존재를 확립했습니다. 이 용어는 예를 들어 디랙 델타와 같이 잘못 정의된 함수를 의미합니다. 정확히 말해서, 기호의 명확한 의미와 함께 단위 임펄스는 다음과 같이 주어집니다.
단위 임펄스는 푸리에 변환으로 상수 함수 U ( f )= u0 를 갖는다 . 델타 함수는 인수의 역수 차원을 가지므로 방정식(1)은 차원적으로 정확하다. 단위 임펄스가 t0 에 중심을 두고 있는 경우 u ( t )= u0δ 가 되고 , 이로부터 푸리에 적분을 계산하면 U(f )= u0e − j2πft0 가 된다. 그러나 물리적 으로 흥미로운 양은 스펙트럼 | U ( f ) |= u0e − j2πft0 = u0 인데 , 허수 지수가 단위 모듈을 갖기 때문 이다 .
이것을 지정하면 먼저 샘플링할 신호에 단위 펄스 열(또는 농담조로 정의한 대로 디랙 빗살 )을 연결할 수 있습니다.
샘플링된 신호는 이제 다음과 같이 작성될 수 있습니다.
우리가 차원 문제에 대해 상수항 u 0 = 1을 엄격하게 도입한 부분이 있지만, 여기에서는 생략하겠습니다.
따라서 우리는 디랙 델타 함수의 형식주의가 디지털 신호를 유추적으로 처리할 수 있게 해준다는 것을 알 수 있습니다. 디랙 델타 함수, 또는 더 일반적으로 디랙 빗은 유용한 아날로그/디지털 인터페이스입니다.
디랙 빗살의 푸리에 변환
샘플링된 신호(3)의 푸리에 변환을 결정하기 전에, (2)로 주어진 푸리에 변환이 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.
증명할 수 있는 것은 다음과 같습니다. 1
여기서 f c = 1 /T c 는 샘플링 주파수 입니다 . 즉, 디랙 빗살(2)의 푸리에 변환은 여전히 디랙 빗살이며, 여기서 개별 델타 함수는 f c 만큼 균일한 간격을 둡니다 ( T c 만큼 균일한 간격을 둔 u ( t ) 의 단위 펄스와는 다름 ) . 이 수학적으로 우아하지만 물리적으로 난해한 결과는 그림 3에 나와 있습니다. 실제로는 간단한 물리적 해석이 가능합니다. 급수(2)를 주어진 순서로 자르면 다음과 같습니다.
푸리에 변환은 다음과 같습니다.
따라서 N개의 허수 지수 의 중첩은 N개의 사인파 진동 의 간섭과 같습니다 . 그림 4와 그림 5에서 N = 10 및 N = 20의 경우 각 모듈의 그래프를 보고합니다. 여기에서 N → +∞의 경우 무한 사인파 진동의 간섭이 디랙 빗살(5)을 재생성한다는 것을 알 수 있습니다.
샘플링된 신호의 푸리에 변환
이 시점에서 우리는 샘플링된 신호(3)의 푸리에 변환을 계산해야 합니다.
우리는 아날로그 신호 x ( t )의 푸리에 변환 X ( f ) 가 알려져 있다고 가정합니다. (3)에서 변환을 계산하는 두 가지 다른 방법이 있음을 알 수 있습니다.
이는 (4)와 유사하지만 이제 개별 용어가 신호의 샘플링된 값에 의해 가중된다는 점이 다릅니다. 시리즈의 합을 명시적으로 만드는 것이 불가능하기 때문에 두 번째 방법을 고려하게 됩니다. 항상 (3)에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
여기서 합성 정리 2 가 도움이 됩니다. 그러나 이것은 주파수 공간에 기록되어 있으며, 먼저 두 신호 x ( t ) , y ( t )의 변환 X ( f ) , Y ( f )의 합성곱 *을 다음과 같이 정의합니다.
앞서 언급한 정리를 적용하면 다음과 같습니다.
여기서 FT −1은 역 푸리에 변환을 나타냅니다. 즉, x ( t ) y ( t )의 푸리에 변환은 개별 변환의 합성곱입니다.
샘플링 주파수로 표현하면 최종적으로 다음과 같습니다.
즉, 샘플링된 신호의 푸리에 변환은 무한히 복제된 아날로그 신호의 푸리에 변환에 불과합니다.이로 인해 주파수 축의 양방향으로 스펙트럼 그래프 | Xc ( f )| 가 무한히 이동합니다.여기서 단일 이동의 진폭은 fc 로 주어집니다 . (15)는 아날로그 신호의 샘플링을 1
로 동일하게 한 푸리에 변환이기 때문에 (5)를 일반화합니다.사실, x ( t )=1의 푸리에 변환은 디랙 델타 함수 δ ( f )입니다.따라서 (15)에 따르면 해당 샘플링된 신호의 푸리에 스펙트럼은 δ ( f ) 의 무한한 이동으로 구성됩니다 .
나이퀴스트 주파수
아날로그 신호를 나타내는 함수 x ( t )는 대역 제한을 받습니다.푸리에 스펙트럼은 그림 6에서와 같이 지정된 주파수 대역 B = [− f max , f max ]에서 극도로 정점을 이룹니다. f c > 2 f max 가 되도록 T c 로 신호를 샘플링하면 진폭 스펙트럼의 변환이 2 f max 보다 커집니다 (그림 7). 반대로, f c < 2 f max 인 경우 그림 8에서와 같이 스펙트럼의 중첩이 생성되어 앨리어싱 현상이 결정됩니다. 정확히 말해서 중첩은 변환 X c ( f )(푸리에 반전에 의해)에서 시작하여 샘플링된 신호의 올바른 재구성을 방해합니다.
따라서 샘플링 간격이 신호 대역의 최대 주파수 f max > f c / 2를 갖도록 충분히 짧은 경우에만 앨리어싱이 없는 상태에서 작업할 수 있습니다. 이 제한 값은 나이퀴스트 주파수 로 알려져 있습니다 .