우리는 모두 주파수 변조에 대해 적어도 막연히 알고 있습니다. 이것은 " FM 라디오"라는 용어의 유래입니다. 주파수를 여러 주기를 해당 기간으로 나눈 것이 아니라 순간적인 값을 갖는 것으로 생각한다면, 기저대역 신호의 순간적인 값에 따라 주파수를 지속적으로 변경할 수 있습니다.
수학
이 장의 첫 페이지 에서 우리는 순간 주파수라고 불리는 역설적인 양에 대해 논의했습니다. 이 용어가 생소하거나 혼란스럽다면 해당 페이지로 돌아가서 "주파수 변조(FM) 및 위상 변조(PM)" 섹션을 읽어보세요. 하지만 여전히 약간 불확실할 수 있고, 그것은 이해할 수 있습니다. 순간 주파수라는 개념은 "주파수"가 신호가 전체 주기를 완료하는 빈도를 나타내는 기본 원리를 위반합니다 . 초당 10회, 초당 100만 회 또는 그 무엇이든 말입니다.
우리는 수학적 개념으로서 순간 주파수에 대한 철저하고 포괄적인 처리를 시도하지 않을 것입니다. (이 문제를 심도 있게 탐구하기로 결심했다면, 여기에 도움이 될 학술 논문이 있습니다.) FM의 맥락에서 중요한 것은 순간 주파수가 변조파(즉, 기저대역 신호)에 응답하여 캐리어의 주파수가 지속적으로 변한다는 사실에서 자연스럽게 따른다는 것을 깨닫는 것입니다 . 기저대역 신호의 순간 값은 하나 이상의 완전한 사이클의 주파수가 아니라 특정 순간의 주파수에 영향을 미칩니다.
하지만 사실 이는 아날로그 FM에만 해당합니다. 디지털 FM의 경우 한 비트는 이산적인 사이클 수에 해당합니다. 이로 인해 오래된 기술(아날로그 FM)이 새로운 기술(디지털 FM, 주파수 편이 키잉 또는 FSK라고도 함)보다 직관적이지 않은 흥미로운 상황이 발생합니다.
디지털 주파수 변조를 이해하려면 순간 주파수에 대해 고민할 필요는 없습니다.
이전 페이지와 마찬가지로 캐리어를 sin(ω C t) 로 씁니다 . 캐리어는 이미 주파수(즉, ω C )를 가지고 있으므로 변조 절차에 의해 기여된 주파수 성분을 나타내기 위해 초과 주파수 라는 용어를 사용합니다 . 하지만 이 용어는 약간 오해의 소지가 있는데, "초과"는 더 높은 주파수를 의미하는 반면 변조는 공칭 캐리어 주파수보다 높거나 낮은 캐리어 주파수를 초래할 수 있기 때문입니다. 사실, 이것이 주파수 변조(진폭 변조와 대조적으로)가 이동된 기저대역 신호를 필요로 하지 않는 이유입니다. 양의 기저대역 값은 캐리어 주파수를 증가시키고 음의 기저대역 값은 캐리어 주파수를 감소시킵니다. 이러한 조건에서 복조는 문제가 되지 않습니다. 모든 기저대역 값은 고유한 주파수에 매핑되기 때문입니다.
어쨌든, 우리의 캐리어 신호로 돌아가자: sin(ω C t). 만약 우리가 기저대역 신호(x BB )를 괄호 안의 양에 더한다면, 우리는 초과 위상을 기저대역 신호에 선형적으로 비례하게 만들 것이다. 하지만 우리는 위상 변조가 아닌 주파수 변조를 찾고 있으므로, 우리는 초과 주파수가 기저대역 신호에 선형적으로 비례하기를 원한다. 우리는 이 장의 첫 페이지 에서 위상의 시간에 대한 미분을 취함으로써 주파수를 얻을 수 있다는 것을 알고 있다. 따라서 우리가 주파수를 x BB 에 비례하게 하고 싶다면 , 우리는 기저대역 신호 자체가 아니라 기저대역 신호의 적분을 더해야 한다(왜냐하면 미분을 취하면 적분이 취소되고, 초과 주파수가 x BB 로 남게 되기 때문이다).
xFM(t)=sin(ωCt+∫−∞txBB(t)dt)
여기에 추가해야 할 유일한 것은 변조 지수, m입니다. 이전 페이지에서 변조 지수를 사용하여 캐리어의 진폭 변화를 기저대역 값 변화에 더 민감하게 만들거나 덜 민감하게 만들 수 있다는 것을 보았습니다. FM에서의 기능은 동일합니다. 변조 지수를 사용하면 기저대역 값의 변화로 인해 생성되는 주파수 변화의 강도를 미세 조정할 수 있습니다.
xFM(t)=sin(ωCt+m∫−∞txBB(t)dt)
시간 도메인
몇 가지 파형을 살펴보겠습니다. 여기 10MHz 캐리어가 있습니다.
기저대역 신호는 다음과 같이 1MHz 사인파가 됩니다.
FM 파형은 위에 주어진 공식을 적용하여 생성됩니다. sin(x)의 적분은 –cos(x) + C입니다. 상수 C는 여기서 관련이 없으므로 다음 방정식을 사용하여 FM 신호를 계산할 수 있습니다.
xFM(t)=sin((10×106×2πt)−cos(1×106×2πt))
결과는 다음과 같습니다(기저대역 신호는 빨간색으로 표시됨):
캐리어는 거의 변하지 않은 것처럼 보이지만 자세히 보면 기저대역 신호가 최대값에 가까울 때 피크가 약간 더 가깝습니다. 따라서 여기에는 주파수 변조가 있습니다. 문제는 기저대역 변화가 충분한 캐리어 주파수 변화를 생성하지 않는다는 것입니다. 변조 지수를 증가시키면 이 상황을 쉽게 해결할 수 있습니다. m = 4를 사용해 보겠습니다.
xFM(t)=sin((10×106×2πt)−4cos(1×106×2πt))
이제 우리는 변조된 캐리어의 주파수가 순간적인 기저대역 값을 지속적으로 어떻게 추적하는지 더 명확하게 볼 수 있습니다.
주파수 영역
동일한 기저대역 및 캐리어 신호에 대한 AM 및 FM 시간 영역 파형은 매우 다르게 보입니다. 그런 다음 AM 및 협대역 FM이 주파수 영역에서 유사한 변화를 생성한다는 것을 발견하는 것은 흥미롭습니다. (협대역 FM은 제한된 변조 대역폭을 포함하고 더 쉬운 분석을 허용합니다.) 두 경우 모두 저주파 스펙트럼(음의 주파수 포함)이 캐리어 주파수 위아래로 확장되는 대역으로 변환됩니다. AM의 경우 기저대역 스펙트럼 자체가 위쪽으로 이동합니다. FM의 경우 캐리어 주파수를 둘러싼 대역에 나타나는 것은 기저대역 신호의 적분 스펙트럼입니다.
위에 표시된 단일 기저대역 주파수, m-equals-1 변조의 경우 다음이 성립합니다.
다음 스펙트럼은 m = 4입니다.
이는 변조 지수가 변조된 파형의 주파수 내용에 영향을 미친다는 것을 매우 분명하게 보여줍니다. 주파수 변조를 사용한 스펙트럼 분석은 진폭 변조를 사용한 분석보다 더 복잡합니다. 주파수 변조 신호의 대역폭을 예측하기 어렵습니다.
요약
- 주파수 변조의 수학적 표현은 사인 또는 코사인 함수의 인수에 기저대역 신호의 적분을 추가한 사인파 표현식으로 구성됩니다.
- 변조 지수는 주파수 편차를 기저대역 값의 변화에 더 민감하게 만들거나 덜 민감하게 만드는 데 사용될 수 있습니다.
- 협대역 주파수 변조는 기저대역 신호의 적분 스펙트럼을 캐리어 주파수 주변의 대역으로 변환하는 결과를 낳습니다.
- FM 스펙트럼은 변조 지수 외에도 변조 신호의 진폭과 변조 신호의 주파수의 비율에 의해서도 영향을 받습니다.우리는 모두 주파수 변조에 대해 적어도 막연히 알고 있습니다. 이것은 " FM 라디오"라는 용어의 유래입니다. 주파수를 여러 주기를 해당 기간으로 나눈 것이 아니라 순간적인 값을 갖는 것으로 생각한다면, 기저대역 신호의 순간적인 값에 따라 주파수를 지속적으로 변경할 수 있습니다.수학우리는 수학적 개념으로서 순간 주파수에 대한 철저하고 포괄적인 처리를 시도하지 않을 것입니다. (이 문제를 심도 있게 탐구하기로 결심했다면, 여기에 도움이 될 학술 논문이 있습니다.) FM의 맥락에서 중요한 것은 순간 주파수가 변조파(즉, 기저대역 신호)에 응답하여 캐리어의 주파수가 지속적으로 변한다는 사실에서 자연스럽게 따른다는 것을 깨닫는 것입니다 . 기저대역 신호의 순간 값은 하나 이상의 완전한 사이클의 주파수가 아니라 특정 순간의 주파수에 영향을 미칩니다.
디지털 주파수 변조를 이해하려면 순간 주파수에 대해 고민할 필요는 없습니다.
어쨌든, 우리의 캐리어 신호로 돌아가자: sin(ω C t). 만약 우리가 기저대역 신호(x BB )를 괄호 안의 양에 더한다면, 우리는 초과 위상을 기저대역 신호에 선형적으로 비례하게 만들 것이다. 하지만 우리는 위상 변조가 아닌 주파수 변조를 찾고 있으므로, 우리는 초과 주파수가 기저대역 신호에 선형적으로 비례하기를 원한다. 우리는 이 장의 첫 페이지 에서 위상의 시간에 대한 미분을 취함으로써 주파수를 얻을 수 있다는 것을 알고 있다. 따라서 우리가 주파수를 x BB 에 비례하게 하고 싶다면 , 우리는 기저대역 신호 자체가 아니라 기저대역 신호의 적분을 더해야 한다(왜냐하면 미분을 취하면 적분이 취소되고, 초과 주파수가 x BB 로 남게 되기 때문이다).xFM(t)=sin(ωCt+∫−∞txBB(t)dt)여기에 추가해야 할 유일한 것은 변조 지수, m입니다. 이전 페이지에서 변조 지수를 사용하여 캐리어의 진폭 변화를 기저대역 값 변화에 더 민감하게 만들거나 덜 민감하게 만들 수 있다는 것을 보았습니다. FM에서의 기능은 동일합니다. 변조 지수를 사용하면 기저대역 값의 변화로 인해 생성되는 주파수 변화의 강도를 미세 조정할 수 있습니다.xFM(t)=sin(ωCt+m∫−∞txBB(t)dt)몇 가지 파형을 살펴보겠습니다. 여기 10MHz 캐리어가 있습니다.
주파수 영역위에 표시된 단일 기저대역 주파수, m-equals-1 변조의 경우 다음이 성립합니다.
- 주파수 변조의 수학적 표현은 사인 또는 코사인 함수의 인수에 기저대역 신호의 적분을 추가한 사인파 표현식으로 구성됩니다.
- 변조 지수는 주파수 편차를 기저대역 값의 변화에 더 민감하게 만들거나 덜 민감하게 만드는 데 사용될 수 있습니다.
- 협대역 주파수 변조는 기저대역 신호의 적분 스펙트럼을 캐리어 주파수 주변의 대역으로 변환하는 결과를 낳습니다.
- FM 스펙트럼은 변조 지수 외에도 변조 신호의 진폭과 변조 신호의 주파수의 비율에 의해서도 영향을 받습니다.
- 요약
- 이는 변조 지수가 변조된 파형의 주파수 내용에 영향을 미친다는 것을 매우 분명하게 보여줍니다. 주파수 변조를 사용한 스펙트럼 분석은 진폭 변조를 사용한 분석보다 더 복잡합니다. 주파수 변조 신호의 대역폭을 예측하기 어렵습니다.
- 다음 스펙트럼은 m = 4입니다.
- 동일한 기저대역 및 캐리어 신호에 대한 AM 및 FM 시간 영역 파형은 매우 다르게 보입니다. 그런 다음 AM 및 협대역 FM이 주파수 영역에서 유사한 변화를 생성한다는 것을 발견하는 것은 흥미롭습니다. (협대역 FM은 제한된 변조 대역폭을 포함하고 더 쉬운 분석을 허용합니다.) 두 경우 모두 저주파 스펙트럼(음의 주파수 포함)이 캐리어 주파수 위아래로 확장되는 대역으로 변환됩니다. AM의 경우 기저대역 스펙트럼 자체가 위쪽으로 이동합니다. FM의 경우 캐리어 주파수를 둘러싼 대역에 나타나는 것은 기저대역 신호의 적분 스펙트럼입니다.
- 이제 우리는 변조된 캐리어의 주파수가 순간적인 기저대역 값을 지속적으로 어떻게 추적하는지 더 명확하게 볼 수 있습니다.
- xFM(t)=sin((10×106×2πt)−4cos(1×106×2πt))
- 캐리어는 거의 변하지 않은 것처럼 보이지만 자세히 보면 기저대역 신호가 최대값에 가까울 때 피크가 약간 더 가깝습니다. 따라서 여기에는 주파수 변조가 있습니다. 문제는 기저대역 변화가 충분한 캐리어 주파수 변화를 생성하지 않는다는 것입니다. 변조 지수를 증가시키면 이 상황을 쉽게 해결할 수 있습니다. m = 4를 사용해 보겠습니다.
- 결과는 다음과 같습니다(기저대역 신호는 빨간색으로 표시됨):
- xFM(t)=sin((10×106×2πt)−cos(1×106×2πt))
- FM 파형은 위에 주어진 공식을 적용하여 생성됩니다. sin(x)의 적분은 –cos(x) + C입니다. 상수 C는 여기서 관련이 없으므로 다음 방정식을 사용하여 FM 신호를 계산할 수 있습니다.
- 기저대역 신호는 다음과 같이 1MHz 사인파가 됩니다.
- 시간 도메인
- 이전 페이지와 마찬가지로 캐리어를 sin(ω C t) 로 씁니다 . 캐리어는 이미 주파수(즉, ω C )를 가지고 있으므로 변조 절차에 의해 기여된 주파수 성분을 나타내기 위해 초과 주파수 라는 용어를 사용합니다 . 하지만 이 용어는 약간 오해의 소지가 있는데, "초과"는 더 높은 주파수를 의미하는 반면 변조는 공칭 캐리어 주파수보다 높거나 낮은 캐리어 주파수를 초래할 수 있기 때문입니다. 사실, 이것이 주파수 변조(진폭 변조와 대조적으로)가 이동된 기저대역 신호를 필요로 하지 않는 이유입니다. 양의 기저대역 값은 캐리어 주파수를 증가시키고 음의 기저대역 값은 캐리어 주파수를 감소시킵니다. 이러한 조건에서 복조는 문제가 되지 않습니다. 모든 기저대역 값은 고유한 주파수에 매핑되기 때문입니다.
- 하지만 사실 이는 아날로그 FM에만 해당합니다. 디지털 FM의 경우 한 비트는 이산적인 사이클 수에 해당합니다. 이로 인해 오래된 기술(아날로그 FM)이 새로운 기술(디지털 FM, 주파수 편이 키잉 또는 FSK라고도 함)보다 직관적이지 않은 흥미로운 상황이 발생합니다.
- 이 장의 첫 페이지 에서 우리는 순간 주파수라고 불리는 역설적인 양에 대해 논의했습니다. 이 용어가 생소하거나 혼란스럽다면 해당 페이지로 돌아가서 "주파수 변조(FM) 및 위상 변조(PM)" 섹션을 읽어보세요. 하지만 여전히 약간 불확실할 수 있고, 그것은 이해할 수 있습니다. 순간 주파수라는 개념은 "주파수"가 신호가 전체 주기를 완료하는 빈도를 나타내는 기본 원리를 위반합니다 . 초당 10회, 초당 100만 회 또는 그 무엇이든 말입니다.