과학과 공학의 많은 분야에서 매우 크고 매우 작은 수치적 양을 관리해야 합니다. 이러한 양 중 일부는 크기가 엄청나서 매우 작거나 매우 큽니다. 예를 들어 원자핵의 구성 입자 중 하나인 양성자의 질량을 살펴보겠습니다.
양성자 질량 = 0.000000000000000000000000167그램
또는 1 암페어의 일정한 전류 로 회로의 한 지점을 매초 지나가는 전자의 수를 생각해 보세요 .
1 암페어 = 초당 6,250,000,000,000,000,000개의 전자
0이 많죠? 당연히 이런 숫자에서 0이 너무 많이 나오면 계산기와 컴퓨터의 도움을 받더라도 꽤 혼란스러울 수 있습니다.
그 두 숫자와 그 안에 있는 0이 아닌 숫자의 상대적 희소성에 주목하세요. 양성자의 질량에 대해 우리가 가진 것은 소수점 앞에 23개의 0이 붙은 "167"뿐입니다. 1암페어에서 초당 전자의 수에 대해 우리는 "625" 뒤에 16개의 0이 붙은 것을 봅니다.
0이 아닌 숫자의 범위(처음부터 마지막까지)와 단순히 자리 표시자로 사용되지 않는 0 숫자를 모두 합한 것을 모든 숫자의 "유효 숫자"라고 합니다.
실제 측정에서 유효 숫자는 일반적으로 해당 측정의 정확도를 반영합니다. 예를 들어, 자동차의 무게가 3,000파운드라고 말한다면, 해당 자동차의 무게가 정확히 3,000파운드라는 것을 의미하는 것이 아니라, 말하고 기억하기 편리한 값으로 무게를 반올림했다는 것을 의미합니다.
3,000이라는 반올림된 숫자에는 유효 숫자가 하나뿐입니다. 바로 앞의 "3"입니다. 0은 단지 플레이스홀더 역할을 합니다. 하지만 차의 무게가 3,005파운드라고 한다면, 무게가 가장 가까운 천 파운드로 반올림되지 않았다는 사실은 가운데에 있는 두 개의 0이 단순히 플레이스홀더가 아니라 숫자 "3,005"의 네 자리 숫자가 모두 표현 정확도에 중요하다는 것을 말해줍니다. 따라서 숫자 "3,005"는 유효 숫자가 네 개 라고 합니다 .
마찬가지로, 많은 0자리 숫자가 소수점까지 실제 세계의 양을 나타내는 것은 아닙니다. 이것이 사실로 알려진 경우, 그러한 숫자는 다루기 쉽도록 일종의 수학적 "속기법"으로 작성할 수 있습니다. 이 "속기법"을 과학적 표기법 이라고 합니다 .
과학적 표기법을 사용하면 숫자는 유효 자릿수를 1~10(또는 음수의 경우 -1~-10) 사이의 양으로 표현하여 작성되고, "플레이스홀더" 0은 10의 거듭제곱 배수로 처리됩니다. 예를 들어:
1 암페어 = 초당 6,250,000,000,000,000,000개의 전자
. . . 는 . . . 로 표현될 수 있습니다.
1 암페어 = 초당 6.25 x 10 18 전자
10의 18승(10 18 )은 10을 18번 곱한 것, 또는 "1" 뒤에 18개의 0이 붙은 것을 의미합니다. 6.25를 곱하면 "625" 뒤에 16개의 0이 붙은 것처럼 보입니다(6.25를 취하고 소수점을 오른쪽으로 18자리 건너뜁니다). 과학적 표기법의 장점은 분명합니다. 종이에 쓰면 숫자가 그렇게 다루기 어렵지 않고 유효 자릿수도 쉽게 식별할 수 있습니다.
하지만 양성자의 질량(그램)과 같은 매우 작은 숫자는 어떨까요? 우리는 여전히 과학적 표기법을 사용할 수 있지만, 양수 10의 거듭제곱 대신 음수 10의 거듭제곱을 사용하여 소수점을 오른쪽이 아닌 왼쪽으로 옮길 수 있습니다.
양성자 질량 = 0.000000000000000000000000167그램
. . . 는 . . . 로 표현될 수 있습니다.
양성자 질량 = 1.67 x 10-24 그램
10의 -24승(10-24 ) 은 10을 24번 곱한 역수(1/x) 또는 소수점과 0 23개로 앞에 붙은 "1"을 의미합니다. 1.67을 곱하면 소수점과 0 23개로 앞에 붙은 "167"처럼 보입니다. 매우 큰 숫자의 경우와 마찬가지로 인간이 이 "약어" 표기법을 처리하는 것이 훨씬 쉽습니다. 이전 사례와 마찬가지로 이 양의 유효 자릿수는 명확하게 표현됩니다.
유효 숫자는 10의 거듭제곱 배수에서 벗어나 "그 자체로" 표현되기 때문에 숫자가 둥글게 보이더라도 정밀도 수준을 쉽게 보여줄 수 있습니다. 3,000파운드 자동차의 예를 들어, 과학적 표기법으로 반올림된 숫자 3,000을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
자동차 무게 = 3 x 10 3 파운드
자동차의 실제 무게가 3,005파운드(가장 가까운 파운드까지 정확함)이고 우리가 그 측정의 전체 정확도를 표현하고자 한다면 과학적 표기법 수치는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
자동차 무게 = 3.005 x 10 3 파운드
하지만 실제로 차의 무게가 정확히 3,000파운드라면 어떨까요?(가장 가까운 파운드까지) "일반" 형태(3,000파운드)로 무게를 쓴다면, 이 숫자가 가장 가까운 파운드까지 정확하고 가장 가까운 천 파운드, 가장 가까운 백 파운드, 가장 가까운 10파운드로 반올림한 것이 아니라는 것이 반드시 명확하지는 않을 것입니다. 반면 과학적 표기법은 오해 없이 네 자리 숫자가 모두 중요하다는 것을 보여줄 수 있습니다.
자동차 무게 = 3.000 x 10 3 파운드
소수점 오른쪽에 여분의 0을 더하는 것은 의미가 없으므로(과학적 표기법에서는 여분의 자리 표시자 0이 불필요함) 그 0이 수치의 정밀도에 중요하다는 것을 알 수 있습니다.