네트워크 분석에 사용되는 분기 전류법이란 무엇입니까?
분기 전류법은 분기 전류의 방향을 임의로 지정한 후 옴의 법칙과 키르히호프의 전류 및 전압 법칙을 체계적으로 적용하여 알려지지 않은 전류와 전압을 구하는 네트워크 분석 기법입니다.
가장 간단한 DC 네트워크 분석 기술은 분기 전류법입니다. 이 방법에서 우리는 회로의 전류 방향을 가정한 다음 키르히호프 전류 법칙(KCL) , 키르히호프 전압 법칙(KVL) , 옴의 법칙을 통해 서로의 관계를 설명하는 방정식을 작성합니다. 모든 미지 전류에 대한 방정식이 하나 있으면 동시 방정식을 풀고 모든 전류와 네트워크의 모든 전압 강하를 결정할 수 있습니다 .
회로 노드 선택 및 분기 전류 할당
우선, 그림 1의 회로를 사용하여 분기 전류법의 적용을 설명하겠습니다. 이 동일한 예제 회로를 사용하여 Mesh Current , Superposition Theorem , Thevenin's Theorem , Norton's Theorem , Millman's Theorem을 포함한 다른 네트워크 분석 방법을 가르칩니다 .
회로 노드 선택
첫 번째 단계는 회로에서 알 수 없는 전류에 대한 기준점으로 사용할 노드(전선의 접합부)를 선택하는 것입니다. 그림 2에서 보듯 이 R 1 의 오른쪽, R 2 의 위쪽 , R 3 의 왼쪽을 연결하는 노드를 선택합니다.
노드에서 전류 할당
이 노드에서 우리는 세 개의 전선의 전류가 어느 방향으로 흐르는지 추측하고, 그림 3에서 설명한 대로 세 개의 전류를 각각 I 1 , I 2 , I 3 으로 표시합니다.
이 시점에서 이러한 전류 방향은 추측에 불과하다는 점을 명심하세요. 다행히도 우리의 추측 중 하나라도 틀렸다면, 수학적으로 전류를 풀 때 알 수 있을 것입니다. "잘못된" 전류 방향은 솔루션에서 음수로 표시됩니다.
선택된 노드에 Kirchhoff의 전류 법칙 적용
키르히호프의 전류 법칙은 노드에 들어오고 나가는 전류의 대수 합이 0이어야 한다고 말합니다. 따라서 이 세 전류(I 1 , I 2 , I 3 )를 단일 방정식으로 서로 연관시킬 수 있습니다.
관례를 위해 노드에 들어오는 모든 전류를 양수로, 노드에서 나가는 모든 전류를 음수로 표시해 보겠습니다. 이 상황은 다음과 같은 KCL 방정식을 제공합니다.
I1−I2+I3=0
회로 루프 주변에 키르히호프의 전압 법칙 적용
다음으로, 회로의 루프 주위에 KVL을 사용해 알려지지 않은 방정식을 풀 수 있는 일련의 방정식을 개발해 보겠습니다.
1단계: 모든 전압 강하에 레이블을 지정
KVL을 적용하기 전에, 우리는 전류의 가정된 방향에 따라 저항기 전체의 전압 강하 극성을 모두 레이블링할 것입니다 . 극성은 그림 4에서 볼 수 있듯이 전류가 저항기에 들어가는 곳에서는 양수이고, 저항기에서 나가는 곳에서는 음수입니다.
극성 또는 저항 전압은 전압을 떨어뜨리는 부하와 일치합니다. 전압은 전류가 저항에 들어가는 쪽에서 더 높고, 전류가 나가는 쪽에서 더 낮습니다.
배터리 극성은 기호에 따라 그대로 유지되며, 짧은 쪽은 음극이고 긴 쪽은 양극입니다. 배터리는 소스이므로 전류가 나오는 쪽의 전압이 더 높습니다. 저항성 부하와는 정반대입니다.
저항기 전압 강하의 극성이 가장 가까운 배터리의 극성과 일치하지 않아도 괜찮다는 점을 명심하세요. 저항기 전압 극성이 전류의 가정 방향에 올바르게 기반을 두고 있는 한 말입니다. 어떤 경우에는 전류가 배터리를 통해 강제로 되돌아가서 이런 효과를 일으키는 것을 발견할 수도 있습니다(배터리로 역전류가 흐르는 예로는 충전식 배터리를 충전할 때입니다).
여기서 기억해야 할 중요한 점은 모든 저항기 극성과 이후 계산을 처음에 가정한 전류 방향에 기반을 두는 것입니다. 앞서 언급했듯이 가정이 틀렸다면 방정식을 풀면 분명해질 것입니다. 음의 전류와 저항은 단순히 전류가 우리의 초기 추측 방향과 반대 방향으로 흐른다는 것을 의미합니다. 그러나 솔루션의 크기는 여전히 정확할 것입니다.
2단계: 왼쪽 회로 루프에 Kirchhoff의 전압 법칙(KVL) 적용
키르히호프의 전압 법칙은 루프의 모든 전압의 대수 합이 0이어야 한다고 말합니다. 우리는 실제 전압계로 측정하는 것처럼 회로의 루프에서 전압 강하를 계산해야 합니다.
먼저, 이 회로의 왼쪽 루프를 먼저 추적해 보겠습니다. 왼쪽 위 모서리에서 시작하여 시계 반대 방향으로 이동합니다(시작점과 방향은 임의적입니다). 전압 측정 순서는 아래 그림 5~8에 나와 있습니다.
왼쪽 루프의 추적을 완료하면 KVL에서 요구하는 대로 0의 합과 함께 이러한 전압을 추가할 수 있습니다.
−28+0+VR2+VR1=0
다음으로, 이 방정식을 단순화하기 위해 왼쪽의 0전압 항을 제거할 수 있습니다.
−28+VR2+VR1=0
덧붙여, 루프의 0V 구간을 측정하는 것을 건너뛸 수 있었을 것이라는 것은 비교적 쉽게 알 수 있을 것입니다. 왜냐하면 그것은 단일 전기 노드이기 때문입니다. 이 노드는 정의상 전압 강하가 있을 수 없습니다. 그러나 우리는 일관성을 위해 분기 전류 방법을 개발할 때 그것을 남겨두었습니다.
여기서 우리는 아직 R 1 또는 R 2 의 전압을 알지 못 하므로 이 시점에서는 해당 값을 숫자로 방정식에 삽입할 수 없습니다. 그러나 세 전압은 모두 대수적으로 0이 되어야 하므로 방정식은 참입니다.
3단계: 알려지지 않은 전류에 대한 전압 표현
한 걸음 더 나아가, 이제 우리는 옴의 법칙(V = IR)에 따라 알 수 없는 전압을 해당 알 수 없는 전류(I 1 및 I 2 )와 각각의 저항 의 곱으로 표현할 수 있습니다 .
−28+I2R2+I1R1=0
우리는 모든 저항기의 값이 옴 단위인지 알고 있으므로, 방정식에 해당 수치를 대입하여 약간 단순화할 수 있습니다.
−28+2I2+4I1=0
왜 우리가 이 방정식을 처음 형태(-28 + V R2 + V R1 ) 부터 조작하는 데 온갖 수고를 들였는지 궁금할 것입니다 . 결국 마지막 두 항은 아직 알려지지 않았으므로 알려지지 않은 전압이나 알려지지 않은 전류(저항을 곱한 값)로 표현하는 데 어떤 이점이 있습니까?
기본적으로, 이것은 우리의 원래 KCL 방정식과 동일한 미지 변수를 사용하여 표현된 KVL 방정식을 얻습니다. 세 개의 미지 전류(I 1 , I 2 , I 3 )를 풀기 위해, 우리는 이 세 개의 전류(전압이 아님!)를 서로 연결하는 세 개의 방정식이 있어야 합니다. 이를 통해 우리는 동시 방정식을 풀기 위한 대수적 방법을 사용할 수 있습니다.
4단계: 오른쪽 회로 루프에 Kirchhoff의 전압 법칙(KVL) 적용
다음으로, 회로의 오른쪽 루프에 동일한 단계를 적용해 보겠습니다. 전압 강하를 기록하는 것으로 시작합니다. 원래 선택한 노드에서 임의로 시작하여 오른쪽 루프를 따라 시계 반대 방향으로 이동합니다(그림 9~12 참조).
그 후, 오른쪽 루프 주변의 전압에 대한 KVL 방정식을 적어 보겠습니다.
−VR2+0+7−VR3=0
이제 각 저항기의 전압은 해당 전류와 (알려진) 각 저항기의 저항의 곱으로 표현되어야 한다는 것을 알고 있으므로 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
−I2R2+7−I3R3=0
다시 한번, 우리가 0V 항을 다시 삭제했다는 점에 주의하세요.
이제 저항 값을 옴 단위로 입력해 보겠습니다.
−2I2+7−1I3=0
미지 전류에 대한 동시 방정식을 풀어보세요
이 과정에서 우리는 세 개의 방정식(하나의 KCL 방정식과 두 개의 KVL 방정식)과 세 개의 미지수로 구성된 수학적 시스템을 갖게 됩니다.
I1−I2+I3=0 (Kirchhoff’s Current Law)
−28+2I2+4I1=0 (Kirchhoff’s Voltage Law)
2I2+7−1I3=0 (Kirchhoff’s Voltage Law)
일부 해결 방법(특히 계산기나 컴퓨터를 사용하는 방법)의 경우 두 가지 간단한 규칙에 따라 방정식을 표현하는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다.
- 계수가 0이든 1이든 알 수 없는 각 항목 앞에 계수를 포함합니다.
- 모든 상수 값을 등호 오른쪽으로 이동합니다.
다음 지침에 따라 방정식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
1I1−1I2+1I3=0 (Kirchhoff’s Current Law)
4I1+2I2+0I3=28 (Kirchhoff’s Voltage Law)
0I1+2I2+1I3=7 (Kirchhoff’s Voltage Law)
동시 방정식을 푸는 데 사용할 수 있는 모든 기술을 사용하면 세 개의 알려지지 않은 전류 값에 대해 다음과 같은 해를 얻을 수 있습니다.
I1=5 A
I2=4 A
I3=−1 A
따라서:
- I 1은 5A입니다
- I 2는 4A입니다
- I 3 는 음의 1 A 입니다
하지만 "음" 전류는 무엇을 의미할까요? 이 경우, I 3 (선택한 노드로)에 대한 가정된 방향이 실제 방향과 반대라는 것을 의미합니다.
회로를 다시 그리다
원래 회로로 돌아가면 I 3 의 전류 화살표를 올바른 방향으로 다시 그릴 수 있고 , R 3 의 전압 강하 극성도 일치하도록 다시 그릴 수 있습니다(그림 13 참조).
첫 번째 배터리(B 1 ) 의 전압이 더 높기 때문에 전류가 두 번째 배터리(B 2 )를 통해 뒤로 밀려나는 것을 주목하세요. 배터리 B 2 의 극성이 회로의 그 분기에서 저항기 R 3 쪽으로 전류를 밀어내려고 하지만 , 전류는 실제로 배터리 B 1 의 더 높은 전압으로 인해 다시 강제로 역류합니다 .
이는 더 강한 배터리가 항상 "이길" 것이고 더 약한 배터리는 항상 역방향으로 전류가 강제로 흐를 것이라는 뜻인가요? 아니요!
실제로는 배터리의 상대 전압과 회로의 저항 값에 따라 달라집니다. 무슨 일이 일어나고 있는지 확실히 알 수 있는 유일한 방법은 시간을 내어 네트워크를 수학적으로 분석하는 것입니다.
모든 저항기에서 전압 강하를 계산합니다.
이제 우리는 이 회로의 모든 전류의 크기를 알고 있으므로 옴의 법칙(V = IR)을 사용하여 모든 저항의 전압 강하를 계산할 수 있습니다.
VR1=I1R1=(5 A)(4 Ω)=20 V
VR2=I2R2=(4 A)(2 Ω)=8 V
VR3=I3R3=(1 A)(1 Ω)=1 V
SPICE를 사용한 네트워크 분석
마지막으로, 그림 13의 동일한 네트워크를 SPICE를 사용하여 분석하여 전압 결과를 확인해 보겠습니다. 참고로, SPICE로 전류를 분석할 수도 있는데, 이를 위해서는 회로에 추가 전압 소스를 삽입해야 합니다. 게다가 전압이 모두 같고 저항이 같다면 전류도 모두 같아야 한다는 것을 알고 있습니다. 그런 경우 덜 복잡한 분석을 선택합니다.
그림 14는 SPICE가 참조할 수 있도록 노드 번호를 포함한 회로를 다시 그린 것입니다.
지점 현재 네트워크 분석 예
v1 1 0
v2 3 0 디씨 7
r1 1 2 4
r2 2 0 2
r3 2 3 1
.dc v1 28 28 1 .print dc v(1,2) v(2,0) v(2,3)
.끝
v1 v(1,2) v(2) v(2,3)
2.800E+01 2.000E+01 8.000E+00 1.000E+00
실제로 전압 수치는 모두 동일한 것으로 나타났습니다.
- R 1 (노드 1 및 2) 에 걸쳐 20V , v(1,2)
- R 2를 가로지르는 8V — 노드 2 및 0(v(2)에 0이 포함됨)
- 1 V는 R 3 —노드 2 및 3, v(2,3)를 가로지릅니다.
이 모든 전압 수치의 부호를 주목하세요. 모두 양의 값입니다. SPICE는 노드가 나열된 순서에 따라 극성을 결정합니다. 첫 번째 노드는 양수이고 두 번째 노드는 음수입니다.
예를 들어, 노드 1과 노드 2 사이에 양(+)의 +20V가 있다는 것은 노드 1이 노드 2에 대해 양(+)이라는 것을 의미합니다. SPICE 분석에서 수치가 음(-)으로 나왔다면 실제 극성이 역방향이라는 것을 알았을 것입니다(노드 1이 노드 2에 대해 음(-)).
SPICE 목록에서 노드 순서를 확인하면 모든 극성이 분기 전류 분석 방법을 통해 결정된 내용과 일치하는 것을 볼 수 있습니다.
지점 현재 방법 검토
- 노드를 선택하고 해당 노드의 모든 전류 방향을 가정합니다.
- 선택된 노드에서의 전류와 관련된 KCL 방정식을 작성하세요.
- 가정된 전류 방향에 따라 저항 전압 강하 극성을 레이블로 표시
- 회로의 각 루프에 대한 KVL 방정식을 작성하고 방정식의 각 저항기 항에서 V x를 I x R x 로 대체합니다.
- 동시 방정식을 사용하여 알려지지 않은 분기 전류를 해결합니다.
- 현재 솔루션이 음수이면 해당 솔루션에 대한 가정된 전류 방향이 잘못되었습니다.
- 모든 저항기에서의 전압 강하를 구하시오(V = IR)