직렬 저항 인덕터 회로 예
다음 회로를 예로 들어 보겠습니다.
직렬 저항 인덕터 회로: 전류는 인가 전압보다 0~90도 지연됩니다.
저항기 는 주파수에 관계없이 AC 전류에 대해 5Ω의 저항을 제공하는 반면, 인덕터는 60Hz에서 AC 전류에 대해 3.7699Ω의 리액턴스를 제공합니다.
저항기의 저항은 실수(5 Ω ∠ 0° 또는 5 + j0 Ω)이고 인덕터의 리액턴스는 허수(3.7699 Ω ∠ 90° 또는 0 + j3.7699 Ω)이므로 두 구성 요소의 결합 효과는 두 숫자의 복소수 합의 값과 같은 전류에 대한 반대가 됩니다.
이 결합된 반대는 저항과 리액턴스의 벡터 조합이 될 것입니다. 이 반대를 간결하게 표현하기 위해서는 저항이나 리액턴스만 있는 것보다 전류에 대한 반대에 대한 더 포괄적인 용어가 필요합니다.
이 용어는 임피던스 라고 불리며 , 기호는 Z이고, 저항과 리액턴스와 마찬가지로 옴 단위로 표현됩니다. 위의 예에서 총 회로 임피던스는 다음과 같습니다.
옴의 법칙에서의 저항
임피던스는 옴의 법칙의 저항과 비슷한 방식으로 예상할 수 있듯이 전압과 전류와 관련됩니다.
사실, 이것은 DC 전자공학에서 가르친 것보다 훨씬 더 포괄적인 형태 의 옴의 법칙 입니다(E=IR). 임피던스가 저항보다 전류 흐름에 대한 반대를 훨씬 더 포괄적으로 표현하는 것과 마찬가지입니다. 모든 저항과 모든 리액턴스는 개별적으로 또는 조합(직렬/병렬)으로 AC 회로에서 단일 임피던스로 표현될 수 있으며 표현되어야 합니다.
위 회로에서 전류를 계산하려면 먼저 전압 소스에 대한 위상각 참조를 제공해야 하는데, 이는 일반적으로 0으로 가정됩니다. (저항성 및 유도성 임피던스의 위상각은 전압 또는 전류에 대한 주어진 위상각과 관계없이 각각 항상 0° 및 +90°입니다.)
순수 유도 회로와 마찬가지로 전류파는 전압파(소스)보다 뒤처집니다. 하지만 이번에는 뒤처짐이 크지 않습니다. 순수 유도 회로의 경우 뒤처짐이 90°였지만 이번에는 뒤처짐이 37.016°에 불과합니다.
직렬 LR 회로에서는 전류가 전압보다 지연됩니다.
저항기와 인덕터의 경우 전압과 전류의 위상 관계는 변하지 않았습니다. 저항기 전압은 전류와 동상(0° 이동)이고 인덕터 전압은 전류와 +90° 위상이 다릅니다. 이를 수학적으로 확인할 수 있습니다.
저항기에 걸리는 전압은 그것을 통과하는 전류와 정확히 같은 위상각을 가지는데, 이는 E와 I가 동상임을 알려줍니다(저항기에만 해당).
인덕터에 걸리는 전압 은 52.984°의 위상각을 갖는 반면, 인덕터를 통과하는 전류는 -37.016°의 위상각을 갖는데, 이는 두 가지 사이의 차이가 정확히 90°라는 것을 의미합니다. 이는 E와 I가 여전히 90° 위상차가 있음을 의미합니다(인덕터에 대해서만).
키르히호프의 전압 법칙을 사용하세요
우리는 또한 이러한 복소수 값이 합쳐져서 총 전압을 이룬다는 것을 수학적으로 증명할 수 있습니다. 이는 키르히호프의 전압 법칙이 예측하는 바와 같습니다.
SPICE를 사용하여 계산
SPICE를 사용하여 계산의 유효성을 확인해 보겠습니다.
스파이스 회로: RL.
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac 라인 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.끝
주파수 v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
주파수 vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+0
DC 회로와 마찬가지로 SPICE는 공급 전압과 음수(180° 위상 차이)인 것처럼 전류 수치를 출력합니다. -37.016°의 위상각 대신 143°(-37° + 180°)의 전류 위상각을 얻습니다.
이것은 단지 SPICE의 특이점일 뿐이며 회로 시뮬레이션 자체에서 중요한 것은 나타내지 않습니다. 저항과 인덕터 전압 위상 판독값이 모두 우리의 계산과 일치하는 것을 주목하세요(각각 -37.02° 및 52.98°). 우리가 예상했던 대로입니다.
이처럼 간단한 회로에 대해서도 추적해야 할 모든 수치가 있으므로 "표" 방법을 사용하는 것이 유익할 것입니다. 이 간단한 직렬 저항-인덕터 회로에 표를 적용하면 다음과 같이 진행됩니다.
먼저, E/I/Z 수치에 대한 표를 작성하고 모든 구성 요소 값을 이러한 용어로 삽입합니다(즉, 실제 저항 또는 인덕턴스 값을 각각 옴과 헨리 단위로 표에 삽입하지 말고, 이를 복소수 임피던스 수치로 변환하여 입력합니다).
반드시 필요한 것은 아니지만, 표에 각 양의 직교 및 극좌표 형식을 모두 적는 것이 도움이 됩니다 . 직교 및 극좌표 형식 간의 변환이 필요 없이 복잡한 산술 연산을 수행할 수 있는 계산기를 사용하는 경우 이 추가 문서는 전혀 필요하지 않습니다.
그러나 복잡한 산술 연산을 "손으로"(직사각형 형태의 덧셈과 뺄셈, 극좌표 형태의 곱셈과 나눗셈) 수행해야 하는 경우 각 양을 두 가지 형태로 쓰는 것이 실제로 유용할 것입니다.
이제 우리의 "주어진" 수치가 표의 각각의 위치에 삽입되었으므로 DC와 마찬가지로 진행할 수 있습니다. 개별 임피던스에서 총 임피던스를 결정합니다. 이것은 직렬 회로이므로 전류 흐름에 대한 반대(저항 또는 임피던스)가 총 반대를 형성하는 데 추가된다는 것을 알고 있습니다 .
이제 총 전압과 총 임피던스를 알았으므로 옴의 법칙(I=E/Z)을 적용하여 총 전류를 결정할 수 있습니다.
DC와 마찬가지로 직렬 AC 회로의 총 전류는 모든 구성 요소에 동등하게 공유됩니다. 직렬 회로에서는 전류가 흐르는 경로가 하나뿐이므로 흐름 속도가 전체적으로 균일해야 하기 때문에 여전히 그렇습니다. 따라서 전류에 대한 수치를 저항기와 인덕터의 열로 모두 옮길 수 있습니다.
이제 남은 것은 저항과 인덕터의 전압 강하입니다. 이는 표의 각 열에 수직으로 적용된 옴의 법칙(E=IZ)을 사용하여 수행됩니다.
이것으로 우리의 표는 완성되었습니다. DC 회로 분석에서 적용한 것과 정확히 같은 규칙이 AC 회로에도 적용되지만, 모든 양은 스칼라 형태가 아닌 복소 형태로 표현되고 계산되어야 한다는 단서가 있습니다.
계산에서 위상 변화가 적절히 표현된다면 기본 AC 회로 분석과 DC 회로 분석에 접근하는 방법에 근본적인 차이는 없습니다.
이제 계산된 수치와 실제 계측기로 측정한 전압 및 전류 값 사이의 관계를 검토해볼 좋은 시점입니다.
실제 측정과 직접 관련된 여기의 수치는 직사각형이 아닌 극 표기법 입니다 ! 즉, 이 회로에서 저항기에 전압계를 연결하면 6.3756(실제 직사각형) 또는 4.8071(가상 직사각형) 볼트가 아닌 7.9847볼트를 나타 냅니다.
이를 그래픽으로 설명하면, 측정 장비는 단순히 특정 양(전압이나 전류)에 대한 벡터의 길이를 알려줍니다.
직사각형 표기법은 산술적 덧셈과 뺄셈에 편리하지만, 실제 측정과 관련하여 극좌표보다 더 추상적인 표기법입니다. 앞서 말했듯이, 저는 수학적 계산의 편의를 위해 AC 회로 표에서 각 양의 극좌표와 직사각형 표기법을 모두 표시하겠습니다.
이것은 절대적으로 필요한 것은 아니지만 고급 계산기의 이점 없이 따라가는 사람들에게는 도움이 될 수 있습니다. 단 하나의 표기법만 사용한다면 가장 좋은 선택은 극좌표일 것입니다. 왜냐하면 극좌표는 실제 측정과 직접 상관관계를 맺을 수 있는 유일한 표기법이기 때문입니다.
직렬 RL 회로의 임피던스(Z)는 저항(R)과 유도 리액턴스(XL)를 고려하여 계산할 수 있습니다. E=IR, E=IXL, E=IZ이므로 저항, 리액턴스, 임피던스는 각각 전압에 비례합니다. 따라서 전압 위상 다이어그램을 유사한 임피던스 다이어그램으로 대체할 수 있습니다.
시리즈: RL 회로 임피던스 위상도.
예: 주어진 것: 79.58 밀리헨리 인덕터와 직렬로 연결된 40 Ω 저항기. 60 헤르츠에서 임피던스를 찾으세요.
XL = 2πfL
XL = 2π·60·79.58×10-3
XL = 30Ω
Z = R + jXL
Z = 40 + j30
|Z| = 제곱(402 + 302) = 50Ω
∠Z = 아크탄젠트(30/40) = 36.87°
Z = 40 + j30 = 50∠36.87°
검토:
- 임피던스 는 전류에 대한 저항의 총 측정치이며, (실제) 저항과 (허수) 리액턴스의 복소수(벡터) 합계입니다. 문자 "Z"로 표시되며 저항(R)과 리액턴스(X)와 마찬가지로 옴 단위로 측정됩니다.
- 임피던스(Z)는 직렬 회로 분석에서 저항(R)과 마찬가지로 관리됩니다. 직렬 임피던스는 합쳐져서 총 임피던스를 형성합니다. 모든 계산을 복소수(스칼라가 아님) 형태로 수행해야 합니다! Z Total = Z 1 + Z 2 + . . . Z n
- 순수 저항 임피던스는 항상 정확히 0°의 위상각을 갖습니다(ZR = R Ω ∠ 0°).
- 순수 유도 임피던스는 항상 정확히 +90°의 위상각을 갖습니다(ZL = XL Ω ∠ 90°).
- 교류 회로에 대한 옴의 법칙: E = IZ ; I = E/Z ; Z = E/I
- 저항기와 인덕터가 회로에서 혼합되면 총 임피던스는 0°와 +90° 사이의 위상각을 갖게 됩니다. 회로 전류는 0°와 -90° 사이의 위상각을 갖게 됩니다.
- 직렬 AC 회로는 직렬 DC 회로와 같은 기본적 속성을 보입니다. 전류는 회로 전체에 걸쳐 균일하고, 전압 강하가 더해져 총 전압을 형성하고, 임피던스가 더해져 총 임피던스를 형성합니다.