반복 적이고 비정현파는 다양한 진폭과 주파수에서 DC 전압, 사인파 및/또는 코사인파(90도 위상 편이를 갖는 사인파)의 조합으로 표현될 수 있다는 것이 밝혀졌습니다 .
이는 문제의 파형이 아무리 이상하거나 복잡하더라도 사실입니다 . 시간이 지남에 따라 규칙적으로 반복되는 한, 이 일련의 사인파로 축소될 수 있습니다.
특히, 사각파는 같은 주파수의 사인파와 감소하는 진폭의 무한한 홀수-배수 주파수 사인파 시리즈의 합과 수학적으로 동일하다는 것이 밝혀졌습니다.
파형에 대한 이 진실은 처음에는 믿기 어려울 정도로 이상하게 보일 수 있습니다. 그러나 사각파가 실제로 사인파 고조파의 무한한 시리즈를 더한 것이라면, 여러 사인파 고조파를 더하여 사각파에 가까운 근사값을 만들어내어 이를 증명할 수 있어야 한다는 것은 당연한 이치입니다.
이런 추론은 타당할 뿐만 아니라 SPICE를 통해 쉽게 입증할 수 있습니다.
우리가 시뮬레이션할 회로는 적절한 진폭과 주파수의 사인파 AC 전압 소스 몇 개를 직렬로 연결한 것에 불과합니다. SPICE를 사용하여 다음과 같이 전압 소스를 연속적으로 추가하여 전압 파형을 플로팅합니다.
사각파는 고조파의 합으로 근사화됩니다.
이 특정 SPICE 시뮬레이션에서 저는 1차, 3차, 5차, 7차, 9차 고조파 전압 소스를 직렬로 합산하여 총 5개의 AC 전압 소스를 만들었습니다. 기본 주파수는 50Hz이고 각 고조파는 물론 그 주파수의 정수 배수입니다.
진폭(전압) 수치는 무작위 숫자가 아닙니다. 오히려 주파수 급수에 표시된 방정식을 통해 도출된 것입니다(각 증가하는 홀수 고조파에 대해 4/π에 1, 1/3, 1/5, 1/7 등을 곱한 분수).
사각파를 구축하다
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1차 고조파 (50Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3차 고조파
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5차 고조파
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7차 고조파
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9차 고조파
r1 5 0 10k
.트랜스 1m 20m
.plot tran v(1,0) 1차 고조파 플롯
.plot tran v(2,0) 1차 + 3차 고조파 플롯
.plot tran v(3,0) 1차 + 3차 + 5차 고조파 플롯
.plot tran v(4,0) 1차 + 3차 + 5차 + 7차 고조파 플롯
.plot tran v(5,0) 플롯 1차 + . . . + 9차 고조파
.끝
여기서부터 단계별로 분석을 설명하면서 우리가 보고 있는 것이 무엇인지 설명하겠습니다. 이 첫 번째 플롯에서 우리는 50Hz의 기본 주파수 사인파를 그 자체로 봅니다. 그것은 추가 고조파 내용이 없는 순수한 사인 모양에 불과합니다. 이것은 이상적인 AC 전원에서 생성되는 파형의 종류입니다.
순수 50Hz 사인파.
다음으로, 이 깨끗하고 단순한 파형이 3차 고조파(3배 50Hz 또는 150Hz)와 결합되면 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 갑자기 더 이상 깨끗한 사인파처럼 보이지 않습니다.
1차(50Hz)와 3차(150Hz) 고조파의 합은 50Hz 사각파에 근접합니다.
이제 양수와 음수 주기 사이의 상승 및 하강 시간이 훨씬 더 가파르고, 파동의 봉우리가 사각파처럼 평평해지는 데 더 가까워졌습니다. 다음 홀수 고조파 주파수를 추가하면서 무슨 일이 일어나는지 지켜보세요.
1차, 3차, 5차 고조파의 합은 사각파에 근접합니다.
여기서 가장 눈에 띄는 변화는 파동의 봉우리가 더욱 평평해졌다는 것입니다. 파동의 각 끝에는 여러 개의 딥과 볏이 있지만, 그 딥과 볏은 이전보다 진폭이 작습니다. 다음 홀수 고조파 파형을 믹스에 추가하는 것을 다시 지켜보세요.
1차, 3차, 5차, 7차 고조파의 합은 사각파에 근접합니다.
여기서 우리는 각 피크에서 파동이 더 평평해지는 것을 볼 수 있습니다. 마지막으로, 회로의 다섯 번째 사인파 전압원인 9번째 고조파를 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
1차, 3차, 5차, 7차, 9차 고조파의 합은 사각파에 근접합니다.
첫 번째 5개의 홀수 고조파 파형을 합친 최종 결과(물론 모두 적절한 진폭에서)는 사각파에 근접한 근사값입니다. 이렇게 하는 요점은 서로 다른 주파수의 여러 사인파에서 사각파를 어떻게 구축할 수 있는지 보여 주고, 순수한 사각파가 실제로 일련 의 사인파와 동일하다는 것을 증명하는 것입니다.
사각파 AC 전압이 반응성 부품(커패시터와 인덕터)이 있는 회로에 적용되면, 이러한 부품들은 서로 다른 주파수의 여러 사인파 전압에 노출된 것처럼 반응하는데, 실제로는 그렇습니다.
반복적이고 비정현파가 일정한 일련의 가산 직류 전압, 사인파 및/또는 코사인파와 동일하다는 사실은 파동이 작동하는 방식의 결과입니다. 즉, 전기적이든 아니든 모든 파동 관련 현상의 근본적인 속성입니다.
비정현파를 이러한 구성 주파수로 축소하는 수학적 과정을 푸리에 분석 이라고 하며 , 이에 대한 세부 사항은 이 텍스트의 범위를 훨씬 넘어섭니다. 그러나 컴퓨터 알고리즘이 실제 파형에서 고속으로 이 분석을 수행하도록 만들어졌으며, AC 전력 품질 및 신호 분석에 널리 적용되고 있습니다.
SPICE는 푸리에 변환 알고리즘 을 통해 파형을 샘플링하고 구성 사인파 고조파로 축소하여 주파수 분석을 숫자 표로 출력하는 기능이 있습니다. 홀수 고조파 사인파로 구성되어 있다는 것을 이미 알고 있는 사각파에서 이를 시도해 보겠습니다.
사각파 분석 넷리스트
v1 1 0 펄스(-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.트랜스 1분 40분
.플롯 전환 v(1,0)
.4 50 v(1,0)
.끝
전압 소스 v1 을 설명하는 넷리스트 라인의 펄스 옵션은 SPICE 에 사각파형 "펄스" 파형을 시뮬레이션하도록 지시합니다. 이 경우 대칭적(각 반주기에 대해 동일한 시간)이고 피크 진폭이 1볼트입니다. 먼저 분석할 사각파를 플로팅합니다.
SPICE Fourier 분석을 위한 사각파
다음으로, 이 사각파에 대해 SPICE가 생성한 푸리에 분석을 인쇄해 보겠습니다.
과도응답의 푸리에 성분 v(1)
직류성분 = -2.439E-02
고조파 주파수 푸리에 정규화 위상 정규화
없음(hz) 구성 요소 구성 요소(도) 위상(도)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
총 고조파 왜곡률 = 43.805747퍼센트
푸리에 분석 결과의 플롯.
여기(위 그림)에서 SPICE는 파형을 9번째 고조파까지의 사인파 주파수 스펙트럼과 DC 성분 으로 표시된 작은 DC 전압으로 분해했습니다 .
저는 SPICE에 기본 주파수(20밀리초 주기의 사각파의 경우 이 주파수는 50Hz)를 알려야 했기 때문에 SPICE가 고조파를 분류하는 방법을 알고 있었습니다. 모든 짝수 고조파(2번째, 4번째, 6번째, 8번째)의 수치가 얼마나 작은지, 그리고 홀수 고조파의 진폭이 어떻게 감소하는지(1번째가 가장 크고 9번째가 가장 작음)에 주목하세요.
"푸리에 변환"의 동일한 기술은 종종 컴퓨터화된 전력 계측에서 사용되어 AC 파형을 샘플링하고 그 고조파 내용을 결정합니다. 이를 위한 일반적인 컴퓨터 알고리즘(작업을 수행하기 위한 프로그램 단계의 시퀀스)은 고속 푸리에 변환 또는 FFT 함수입니다.
이러한 컴퓨터 루틴이 정확히 어떻게 작동하는지 걱정할 필요는 없지만, 그 존재와 응용 프로그램을 알고 있어야 합니다.
SPICE에서 파동의 고조파 내용을 분석하는 데 사용된 이와 동일한 수학적 기법은 음악의 기술적 분석에도 적용될 수 있습니다. 즉, 특정 소리를 구성하는 사인파 주파수로 분해하는 것입니다.
사실, 당신은 그것이 무엇인지 깨닫지 못한 채 바로 그런 일을 하도록 설계된 장치를 이미 본 적이 있을 것입니다! 그래픽 이퀄라이저 는 음악의 하모닉 콘텐츠의 본질을 제어(그리고 때로는 표시)하는 고음질 스테레오 장비입니다.
여러 개의 노브 또는 슬라이드 레버가 장착된 이퀄라이저는 음악에 존재하는 특정 주파수의 진폭을 선택적으로 감쇠(감소)시켜 청취자의 이익을 위해 사운드를 "맞춤화"할 수 있습니다. 일반적으로 각 제어 레버 옆에 "막대 그래프" 디스플레이가 있어 각 특정 주파수의 진폭을 표시합니다.
Hi-Fi 오디오 그래픽 이퀄라이저.
혼합 주파수 신호의 각 주파수 범위의 진폭을 제어하는 것이 아니라 표시하기 위해 엄격하게 제작된 장치를 일반적으로 스펙트럼 분석기 라고 합니다 .
스펙트럼 분석기의 설계는 서로 다른 주파수를 분리하도록 설계된 일련의 "필터" 회로(자세한 내용은 다음 장 참조)만큼 간단할 수도 있고, FFT 알고리즘을 실행하여 신호를 수학적으로 고조파 구성 요소로 분리하는 특수 목적의 디지털 컴퓨터만큼 복잡할 수도 있습니다.
스펙트럼 분석기는 종종 무선 송신기 및 컴퓨터 네트워크 하드웨어에서 생성된 신호와 같은 매우 높은 주파수 신호를 분석하도록 설계됩니다. 이러한 형태에서 그들은 종종 오실로스코프와 같은 모습을 갖습니다.
스펙트럼 분석기는 진폭을 주파수의 함수로 보여줍니다.
오실로스코프와 마찬가지로 스펙트럼 분석기는 CRT(또는 CRT를 모방한 컴퓨터 디스플레이)를 사용하여 신호 플롯을 표시합니다.
오실로스코프와 달리 이 플롯은 시간 에 따른 진폭이 아니라 주파수 에 따른 진폭입니다 . 본질적으로 주파수 분석기는 운영자에게 신호의 보드 플롯을 제공합니다. 엔지니어가 시간 영역 분석이 아닌 주파수 영역 분석 이라고 부를 수 있는 것입니다 .
"도메인"이라는 용어는 수학적인 용어입니다. 그래프의 수평축을 설명하는 정교한 단어입니다. 따라서 오실로스코프의 진폭(수직)을 시간(수평)에 따라 플롯하는 것은 "시간 도메인" 분석이고, 스펙트럼 분석기의 진폭(수직)을 주파수(수평)에 따라 플롯하는 것은 "주파수 도메인" 분석입니다.
SPICE를 사용하여 다양한 주파수 범위에서 신호 진폭(전압 또는 전류 진폭)을 표시하는 경우 주파수 영역 분석을 수행합니다 .
마지막 SPICE 시뮬레이션의 푸리에 분석이 "완벽하지" 않다는 점에 유의하세요. 이상적으로는 모든 짝수 고조파의 진폭은 절대적으로 0이어야 하며 DC 구성 요소도 마찬가지입니다. 다시 말하지만, 이는 SPICE의 변덕이라기보다는 일반적인 파형의 속성입니다.
무한한 지속 시간(무한한 수의 사이클)의 파형은 절대적인 정밀도로 분석할 수 있지만, 컴퓨터에서 분석할 수 있는 사이클이 적을수록 분석의 정확도가 떨어집니다. 파형을 전체적으로 설명하는 방정식이 있을 때만 푸리에 분석은 그것을 명확한 일련의 사인파 파형으로 축소할 수 있습니다.
파동이 순환하는 횟수가 적을수록 주파수가 확실하지 않습니다. 이 개념을 논리적으로 극단으로 가져가면, 짧은 펄스(사이클을 완료하지도 않는 파형)는 실제로 주파수가 없지만 무한한 주파수 범위로 작용합니다. 이 원리는 AC 전압과 전류뿐만 아니라 모든 파동 기반 현상에 공통적입니다.
간단히 말해, 사이클 수와 파형의 주파수 성분의 확실성은 직접적으로 연관되어 있습니다.
여기서 우리는 파동이 여러 주기 동안 계속해서 진동하도록 함으로써 분석의 정확도를 개선할 수 있었고, 그 결과는 이상과 더 일치하는 스펙트럼 분석이 될 것입니다. 다음 분석에서 간결함을 위해 파형 플롯을 생략했습니다. 정말 긴 사각파일 뿐입니다.
사각파
v1 1 0 펄스(-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.옵션 제한=1001
.트랜스 1분 1
.플롯 전환 v(1,0)
.4 50 v(1,0)
.끝
과도응답의 푸리에 성분 v(1)
직류성분 = 9.999E-03
고조파 주파수 푸리에 정규화 위상 정규화
없음(hz) 구성 요소 구성 요소(도) 위상(도)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399
개선된 푸리에 분석.
이 분석(위의 그림)이 짝수 고조파 사인파 각각에 대해 DC 성분 전압이 적고 진폭이 낮은 것을 보여주는 데 주목하세요. 이는 컴퓨터가 파동의 더 많은 주기를 샘플링하게 했기 때문입니다. 다시 말하지만, 첫 번째 분석의 부정확성은 SPICE의 결함이라기보다는 파동과 신호 분석의 근본적인 속성입니다.
검토:
- 사각파는 같은 (기본) 주파수의 사인파에 진폭이 감소하는 무한한 홀수-배수 사인파 고조파 시리즈를 더한 것과 같습니다.
- 파형을 샘플링하고 구성 사인파 성분을 결정할 수 있는 컴퓨터 알고리즘이 있습니다. 푸리에 변환 알고리즘(특히 고속 푸리에 변환 또는 FFT )은 SPICE와 같은 컴퓨터 회로 시뮬레이션 프로그램과 전자 계량 장비에서 전력 품질을 결정하는 데 일반적으로 사용됩니다.