특히 FFT 알고리즘 형태의 컴퓨터화된 푸리에 분석은 파형 과 관련 스펙트럼 구성 요소 에 대한 이해를 높이는 데 강력한 도구입니다 .
SPICE 시뮬레이터 에 .fourier 옵션으로 프로그래밍된 이 동일한 수학적 루틴은 다양한 전자 테스트 장비에도 프로그래밍되어 측정된 신호에 대한 실시간 푸리에 분석을 수행합니다.
이 섹션에서는 이러한 도구의 사용과 여러 가지 파형의 분석에 대해 설명합니다.
먼저 523.25Hz 주파수의 간단한 사인파가 있습니다. 이 특정 주파수 값은 피아노 건반의 "C" 피치로, "중간 C"보다 한 옥타브 높습니다.
사실, 이 데모를 위해 측정된 신호는 팬 플루트의 음색을 내도록 설정된 전자 키보드에 의해 생성되었습니다. 팬 플루트는 제가 완벽한 사인파와 비슷한 가장 가까운 악기 "음성"입니다. 아래 플롯은 오실로스코프 디스플레이에서 가져온 것으로, 시간에 따른 신호 진폭(전압)을 보여줍니다.
오실로스코프 디스플레이: 전압 대 시간
오실로스코프 로 보면 사인파는 화면에 수평으로 그려진 물결 모양 곡선처럼 보입니다. 이 오실로스코프 디스플레이의 수평 축에는 "시간"이라는 단어와 시간의 진행 방향을 가리키는 화살표가 표시되어 있습니다. 물론 곡선 자체는 시간에 따른 전압의 주기적 증가와 감소를 나타냅니다.
면밀히 관찰하면 사인파 모양에 결함이 있습니다. 불행히도 이는 파형을 분석하는 데 사용된 특정 장비의 결과입니다. 테스트 장비의 기이함으로 인한 이러한 특성은 기술적으로 아티팩트 라고 합니다 . 즉, 실험을 수행하는 데 사용된 장비의 특이성으로 인해 발생하는 현상입니다.
동일한 AC 전압을 스펙트럼 분석기에서 보면 결과는 매우 다릅니다.
스펙트럼 분석기 디스플레이: 전압 대 주파수
보시다시피, 디스플레이의 수평 축에는 "주파수"라는 단어가 표시되어 있으며, 이는 이 측정의 도메인을 나타냅니다. 곡선의 단일 피크는 디스플레이 폭이 포함하는 주파수 범위 내에서 단일 주파수의 우세를 나타냅니다.
이 분석기 기기의 눈금에 숫자가 표시되어 있다면 이 피크가 523.25Hz에서 발생한다는 것을 알 수 있을 것입니다. 피크의 높이는 신호 진폭(전압)을 나타냅니다.
전자 키보드에서 세 가지 다른 사인파 톤(CEG, C장조 코드)을 함께 혼합하고 결과를 측정하면 오실로스코프 디스플레이와 스펙트럼 분석기 디스플레이 모두 이러한 복잡성이 증가한 것을 반영합니다.
오실로스케이프 디스플레이: 3가지 톤
오실로스코프 디스플레이(시간 영역)는 이전보다 훨씬 더 많은 피크와 밸리가 있는 파형을 보여주는데, 이는 이 세 주파수의 혼합의 직접적인 결과입니다. 알다시피, 이러한 피크 중 일부는 원래 단일 피치 파형의 피크보다 높고 다른 피크는 낮습니다.
이는 세 개의 서로 다른 파형이 각각의 위상 변화가 시간에 따라 변함에 따라 번갈아가며 강화하고 상쇄하는 결과입니다.
스펙트럼 분석기 디스플레이: 3가지 톤
스펙트럼 디스플레이(주파수 영역)는 해석하기가 훨씬 쉽습니다. 각 피치는 곡선에서 자체 피크로 표현됩니다. 이 세 피크 사이의 높이 차이는 테스트 장비의 또 다른 아티팩트입니다. 이러한 파형을 생성하고 분석하는 데 사용된 장비 내의 제한 사항의 결과이며 음악 코드 자체의 필수적인 특성이 아닙니다.
앞서 언급했듯이, 이러한 파형을 생성하는 데 사용되는 장치는 전자 키보드입니다. 전자 키보드는 다양한 악기의 음색을 모방하도록 설계된 악기입니다.
팬플루트 "음성"은 첫 번째 시연에 선택되었는데, 순수 사인파(스펙트럼 분석기 디스플레이의 단일 주파수)와 가장 비슷하기 때문입니다. 하지만 다른 악기 "음성"은 이것만큼 간단하지 않습니다. 사실, 모든 악기에서 생성되는 독특한 음색은 파형(또는 주파수 스펙트럼)의 함수입니다.
예를 들어, 트럼펫 음색의 신호를 살펴보겠습니다.
오실로스코프 디스플레이: 트럼펫 음색의 파형
이 음색의 기본 주파수는 첫 번째 팬플루트 예와 같습니다. 523.25Hz, "중간 C"보다 1옥타브 높습니다.
파형 자체는 순수하고 단순한 사인파 형태와는 거리가 멉니다. 반복되는 비사인파 파형은 서로 다른 진폭과 주파수의 일련의 사인파 파형과 동일하다는 것을 알고 있으므로 스펙트럼 분석기 디스플레이에서 여러 개의 피크가 표시될 것으로 예상합니다.
트럼펫 음색의 스펙트럼
물론입니다! 523.25Hz의 기본 주파수 성분은 가장 왼쪽 피크로 표현되고, 각 연속적인 고조파는 분석기 화면의 너비를 따라 자체 피크로 표현됩니다.
두 번째 고조파는 기본 주파수의 두 배(1046.5Hz)이고, 세 번째 고조파는 기본 주파수의 세 배(1569.75Hz)입니다. 이 디스플레이는 처음 여섯 개의 고조파만 보여주지만, 이 복잡한 톤을 구성하는 고조파는 훨씬 더 많습니다.
키보드에서 다른 악기 음색(아코디언)을 시도하면 비슷하게 복잡한 오실로스코프(시간 영역) 플롯과 스펙트럼 분석기(주파수 영역) 디스플레이를 얻습니다.
오실로스코프 디스플레이 : 아코디언 톤의 파형
아코디언 음색의 스펙트럼
트럼펫과 아코디언의 스펙트럼 디스플레이에서 상대적 고조파 진폭(피크 높이)의 차이를 주목하세요. 두 악기 톤 모두 1(기본)에서 6(그리고 그 이상!)까지 고조파를 포함하지만 비율은 같지 않습니다.
각 악기는 음색에 고유한 하모닉 "특징"을 가지고 있습니다. 이 모든 복잡성은 이 두 악기 "음색"으로 연주된 단일 음표 와 관련이 있다는 점을 명심하세요 . 예를 들어 아코디언에서 여러 음표를 연주하면 여기에서 보이는 것보다 훨씬 더 복잡한 주파수 혼합물이 생성됩니다.
오실로스코프와 스펙트럼 분석기의 분석 능력은 실제 파형 예에서 파형과 그 고조파 스펙트럼에 대한 일반 규칙을 도출할 수 있게 해줍니다. 우리는 이미 순수한 사인파에서 벗어나면 서로 다른 진폭과 주파수에서 여러 사인파 파형이 혼합된 것과 같은 결과가 발생한다는 것을 알고 있습니다.
그러나 면밀히 관찰하면 이보다 더 구체적으로 알 수 있습니다. 예를 들어, 사각파에 근접한 파형의 시간 및 주파수 영역 플롯을 참고하세요 .
사각파의 오실로스코프 시간 영역 표시
사각파의 스펙트럼(주파수 영역)
스펙트럼 분석에 따르면, 이 파형에는 짝수 고조파가 없고 홀수 고조파만 있습니다. 이 디스플레이는 6번째 고조파를 지난 주파수를 보여주지 않지만, 진폭이 낮아지는 홀수 고조파 패턴은 무한히 계속됩니다.
이는 놀랄 일이 아닙니다. SPICE에서 사각파는 무한한 홀수 고조파로 구성되어 있다는 것을 이미 보았기 때문입니다. 그러나 트럼펫과 아코디언 톤은 짝수와 홀수 고조파를 모두 포함하고 있습니다.
고조파 함량의 이러한 차이는 주목할 만합니다. 삼각파 분석으로 조사를 계속해 보겠습니다.
삼각파의 오실로스코프 시간 영역 표시
삼각파의 스펙트럼
이 파형에서는 실질적으로 짝수 고조파가 없습니다. (위의 그림) 스펙트럼 분석기 디스플레이에서 유일하게 의미 있는 주파수 피크는 기본 주파수의 홀수 배수에 속합니다.
2차, 4차, 6차 고조파에서 작은 피크가 발견되지만 이는 특정 삼각파형의 불완전성으로 인한 것입니다(이 분석에 사용된 테스트 장비의 아티팩트이기도 합니다).
완벽한 삼각파는 완벽한 사각파와 마찬가지로 짝수 고조파를 생성하지 않습니다. 삼각파의 고조파 스펙트럼이 사각파의 스펙트럼과 동일하지 않다는 것은 면밀히 살펴보면 분명합니다. 각각의 고조파 피크는 높이가 다릅니다. 그러나 두 가지 다른 파형은 짝수 고조파가 없다는 점에서 공통적입니다.
삼각파와 매우 유사한 다른 파형을 살펴보겠습니다. 다만 상승 시간이 하강 시간과 같지 않습니다. 톱니파로 알려진 이 파형의 오실로스코프 플롯은 적절한 이름을 보여줍니다.
톱니파의 시간 영역 표시
이 파형의 스펙트럼 분석을 그리면 일반 삼각파와는 상당히 다른 결과가 나오는데, 이 분석에서는 짝수 번째 고조파(2번째와 4번째)가 강하게 나타나기 때문이다.
톱니파의 주파수 영역 표시
짝수 고조파를 갖는 파형과 짝수 고조파를 갖지 않는 파형의 차이는 삼각파형과 톱니파형의 차이에 있습니다.
그 차이는 파동의 수평 중심선 위아래 대칭 입니다 . 중심선 위아래 대칭인 파형(양쪽 모양이 정확히 서로 미러링됨)에는 짝수 고조파가 포함되지 않습니다 .
x축 중심선을 기준으로 대칭인 파형에는 홀수 고조파만 포함됩니다.
사각파 , 삼각파, 순수 사인파는 모두 이러한 대칭성을 보이며, 모두 짝수 고조파가 없습니다. 트럼펫 톤, 아코디언 톤, 톱니파와 같은 파형은 중심선을 중심으로 비대칭이므로 짝수 고조파가 포함 됩니다 .
비대칭 파형에는 짝수 고조파가 포함됩니다.
이 중심선 대칭의 원리는 0 선 주위의 대칭과 혼동되어서는 안 됩니다 . 표시된 예에서 파형의 수평 중심선은 시간 영역 그래프에서 0볼트가 되지만, 이는 고조파 함량과는 아무런 관련이 없습니다.
고조파 함량의 이 규칙(비대칭 파형만 있는 고조파도 해당)은 파형이 "DC 구성 요소"로 0볼트 위나 아래로 이동했는지 여부에 관계없이 적용됩니다. 더 자세히 설명하기 위해 DC 전압으로 이동한 동일한 파형 세트를 보여드리고 고조파 함량은 변경되지 않는다는 점에 유의하십시오.
이러한 파형은 홀수 고조파로만 구성됩니다.
다시 말해, 파형에 존재하는 DC 전압의 양은 해당 파형의 고조파 주파수 내용과 아무런 관련이 없습니다.
이 파형에는 짝수 고조파가 포함되어 있습니다.
이 고조파 경험칙이 알아야 할 중요한 규칙인 이유는 무엇일까요? 이 규칙은 AC 회로의 고조파와 특정 회로 구성 요소 간의 관계를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.
AC 전원 회로 의 사인파 왜곡 원인은 대부분 대칭적이므로, 이러한 응용 분야에서는 짝수 고조파가 거의 나타나지 않습니다.
전력 시스템 설계자이고 고조파 감소를 미리 계획하고 있다면 이 사실을 알아두는 것이 좋습니다. 사실상 고조파가 전혀 존재하지 않더라도 홀수 고조파 주파수만 완화하면 되기 때문입니다.
또한 스펙트럼 분석기나 주파수 측정기를 사용하여 AC 회로에서 짝수 고조파를 측정하게 되면 해당 회로의 어떤 것이 사인파 전압이나 전류를 비대칭적으로 왜곡시키고 있다는 것을 알 수 있으며, 이 단서는 문제의 근원을 찾는 데 도움이 될 수 있습니다(AC 파형의 한쪽 반주기를 다른 쪽보다 더 많이 왜곡시킬 가능성이 높은 구성 요소나 조건을 찾아보세요).
이제 비정현파 파형을 해석하는 데 이 규칙이 적용되었으므로 정류 회로에서 생성된 파형은 중심 위아래에 대칭이 전혀 없고 강한 짝수 고조파를 포함하는 것이 더 합리적입니다.
검토:
- 수평 중심선을 기준으로 위아래로 대칭인 파형에는 짝수 고조파가 포함되지 않습니다.
- 존재하는 DC "바이어스" 전압의 양(파형의 "DC 구성 요소")은 해당 파동의 고조파 주파수 내용에 영향을 미치지 않습니다.