중첩 정리

중첩 정리

중첩 정리는 단일 소스의 영향으로 인해 회로 요소에 걸리는 전압 및/또는 전류를 결정하는 데 사용할 수 있습니다.

중첩 정리는 선형 전기 회로 주변의 전압과 전류를 찾는 데 사용할 수 있는 또 다른 회로 분석 도구입니다. 회로에 하나 이상의 독립적인 전압 및/또는 전류 소스가 포함된 경우 중첩 정리를 사용 하여 각 개별 소스의 전압 및/또는 전류 기여도를 찾은 다음 이를 대수적으로 더하여 실제 전압 및/또는 전류 값을 찾을 수 있습니다. 회로 주변의 모든 지점.

즉, 우리는 중첩 정리를 사용하여 특정 회로 요소나 노드를 통과하는 전체 전압 또는 전류를 얻기 위해 단독으로 작용하는 각 독립 소스로 인해 회로 주변의 전압과 전류를 중첩하거나 대수적으로 더할 수 있습니다.

기존의 메시해석이나 노드해석 대신 중첩정리를 사용하면 주어진 전기회로를 분석하기 위해 행렬식, 연립방정식, 행렬대수학을 사용할 필요가 없기 때문에 수학이 더 쉬워진다는 점이다. 그러면 중첩은 다양한 활성 소스를 포함할 수 있는 DC 및 AC 회로를 모두 분석하는 데 사용할 수 있는 편리한 도구입니다.

그러나 중첩 정리의 단점은 선형 회로에만 적용된다는 것입니다. 다행스럽게도 저항 ( R ), 인덕턴스 ( L ) 및 커패시턴스 ( C ) 의 수동 구성 요소에 대한 v , i 관계는 모두 선형입니다.

 

이전 회로 분석 기술(Kirchhoff의 법칙, Thevenin, Norton 등)과 마찬가지로 회로 분석을 위한 하나의 이상적인 전압 소스 또는 하나의 이상적인 전류 소스만 남기고 회로 주변의 모든 소스를 "꺼야" 합니다. 이는 모든 전류 소스를 개방하고 모든 전압 소스를 단락시켜 특정 전압 또는 전류 소스가 회로에 미치는 영향을 찾아 쉽게 수행할 수 있습니다.

즉, 전압 소스를 단락 회로로 교체하면 단락 회로 양단의 전압 강하가 0V( v = 0) 이므로 효과적으로 0이 됩니다 . 반면, 전류 소스를 개방 회로로 대체하면 개방 회로를 통해 전류가 흐를 수 없으므로(이상적인 소스 가정) 사실상 0이 됩니다( i = 0 ).

종속 소스는 고정된 전압이나 전류 값을 나타내지 않지만 회로의 다른 전류나 전압이나 외부 소스에 의해 회로에서 제어되므로 끄거나 비활성화할 수 없습니다.

이전 튜토리얼의 T형 DC 회로를 고려하는 것부터 시작해 보겠습니다.

 

여기서는 중앙 40Ω 저항 R 3 을 통해 흐르는 전류를 찾아야 합니다 . 그게 나 3 입니다 .

회로 분석 절차 전반에 걸쳐 일정하다면 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 회로를 분석해도 최종 결과에 차이가 없습니다. 그런 다음 먼저 20V 배터리를 단락으로 교체하여 10V 배터리가 아래와 같이 회로에서 단독으로 작동하도록 시작하겠습니다.

 

전압 소스 V 2를 접지로 단락시키면 오른쪽 20Ω 저항이 이제 중앙 40Ω 저항과 효과적으로 병렬로 연결되는 것을 볼 수 있습니다 . 그런 다음 두 개의 병렬 연결된 저항으로서 등가 병렬 저항은 다음과 같이 계산됩니다.

 

왼쪽 10Ω 저항 R1 은 13.33Ω 의 등가 병렬 저항 R EQ1과 직렬로 연결되어 전류 I1 이 흐르도록 (10 + 13.33) = 23.33Ω 의 총 직렬 회로 저항을 제공합니다 .

전압 분배 규칙을 사용하면 10V 배터리 공급으로 인한 노드 A 의 전압을 찾을 수 있습니다 .

전류 찾기, I R3(1)

40Ω 저항을 통해 흐르는 전류 ( R 3은 10V 배터리 소스에 의해 구동됨), V 1 은 다음과 같이 계산됩니다.

I R3(1) = V A /R 3 = 5.71/40 = 0.143A 또는 143mA

따라서 저항을 통해 흐르는 전류 R 3 는 10V 배터리 전압의 결과로 회로에서 단독으로 작용하는 V 1 은 143mA 입니다 .

 

노드 A의 5.71V 전압 VA에 걸쳐 저항 40Ω 과 20Ω 의 두 개의 병렬 분기가 있기 때문에 원할 경우 이 값을 다시 확인할 수 있습니다 .

I 1 = 10/23.33 = 0.429A, I R2 = 5.71/20 = 0.286A

따라서: I R3(1) = I 1 – I R2 = 0.429 – 0.286 = 0.143A 또는 143mA(정확함)

전류 찾기, I R3(2)

이전과 동일한 계산 방법 및 논리를 사용하여 이제 저항을 통해 흐르는 전류를 계산할 수 있습니다. R 3 은 20 전압 배터리 전압 V 2 에 의해 구동됩니다 .

 

10V 배터리 V 1 은 단락으로 대체되어 20V 배터리 V 2 는 회로에서 단독으로 작동합니다. 마찬가지로 저항 R1 과 R3 에는 두 개의 병렬 분기가 있으며 등가 병렬 저항은 다음과 같이 계산됩니다 .

 

이제 오른쪽 20Ω 저항인 R 2 는 8Ω 의 등가 병렬 저항 R EQ2 와 직렬로 연결되어 전류 I 2 가 흐르도록 (20 + 8) = 28Ω 의 총 직렬 저항을 제공합니다 .

다시, 전압 분배기 규칙을 사용하여 V 2 의 결과로 노드 A 의 전압을 찾을 수 있습니다 .

 

우연의 일치로 노드 A 의 이 5.71V 전압은 각 방향으로 작용하는 두 전압 소스에 대해 동일한 값입니다. 그런 다음 40Ω 저항을 통해 흐르는 전류 ( R 3은 20V 배터리 소스에 의해 구동됨), V 2 는 다음과 같이 다시 계산됩니다.

I R3(2) = V A /R 3 = 5.71/40 = 0.143A 또는 143mA

이제 I R3 의 최종 값과 방향을 찾기 위해 계산된 두 전류 I R3(1) 및 I R3(2) 의 대수적 합을 구하면 다음과 같이 계산됩니다.

I R3 의 크기와 방향

I R3 = I R3(1) + I R3(2) = 0.143 + 0.143 = 0.286 또는 286mA

 

이는 다시 0.286A와 동일한 값입니다. 이전 회로 분석 튜토리얼에서 Kirchhoff의 회로 법칙 , Thevenin 및 Norton의 정리를 사용하여 찾았습니다.

옴의 법칙을 사용하여 노드 A 의 전압을 계산할 수 있으며, 따라서 두 전압 소스가 모두 회로에 다시 연결될 때 R 3 의 전압 강하를 계산할 수 있습니다. 옴의 법칙을 사용하면 V R3 = I R3 x R 3 = 0.286 x 40 = 11.44V입니다 . 이는 이전 회로 분석 튜토리얼에서 찾은 값과 동일합니다.

그런 다음 중첩 정리를 사용하여 두 개 이상의 전압/전류 소스가 있는 선형 네트워크 분석과 관련된 수학을 단순화할 수 있음을 여기서 확인했습니다. 이 정리는 DC 소스와 AC 소스를 모두 포함하는 모든 네트워크에도 적용될 수 있습니다.

그러나 전력은 전류의 제곱( I 2 *R )에 정비례하고 전압의 제곱 에 반비례하므로 비선형 양이므로 중첩 정리가 POWER에 적용되지 않습니다. V2 /R ) .

중첩 정리 예 No2

이제 전류 소스를 소개하고 중첩 정리를 사용하여 다음 회로에서 2Ω 저항기 R 1 의 전압 강하를 찾아보겠습니다.

중첩 회로

 

다시 회로를 분석하려면 전압 소스를 단락하고 전류 소스를 개방하여 언제든지 회로에 하나의 EMF 소스만 공급하도록 해야 합니다. 그런 다음 시작하려면 8A 전류 소스를 개방하고 그림과 같이 20V 전압 소스를 사용하여 회로를 분석합니다.

 

이제 회로가 V 1 에 연결된 직렬 저항 회로와 유사하다는 것을 분명히 알 수 있습니다 . 키르히호프의 전압 법칙(KVL)은 V 1을 I 1 (R 1 + R 2 + R 3 ) 로 제공하고 옴의 법칙을 사용하여 이 직렬 회로 주위에 흐르는 전류 I 1을 찾을 수 있습니다.

 

따라서 직렬 회로 주위에 2암페어가 흐르는 경우. 저항기 R1 의 개별 전압 강하는 다음과 같이 계산됩니다.

V R1(1) = I 1 x R 1 = 2 x 2 = 4V

 

따라서 20V 배터리 공급으로 인해 저항 R 1 전체에 4V 전압 강하가 발생합니다 . 원하는 경우 전압 분배기 규칙을 사용하여 나머지 루프 주변의 나머지 전압 강하를 찾을 수도 있습니다.

이제 V 1이 단락되고(전압 소스) 8A 전류 소스가 회로에 다시 연결됩니다. 이제 회로는 다음과 유사합니다.

 

이제 일반적으로 전류 분배기 회로라고 불리는 것을 생성하는 8암페어 전류원에 병렬로 연결된 저항이 있음을 알 수 있습니다. 전류 소스는 두 개의 병렬 분기에 적용됩니다. 하나는 저항 R 1 과 R 2 를 직렬로 포함하고, 두 번째 분기는 저항 R 3을 자체적으로 포함합니다.

키르히호프의 전류 법칙(KCL)은 회로의 총 전류가 모든 병렬 분기 전류의 합과 같다고 알려줍니다. 즉, I T = 8A = I 1 + I 2 이고 저항 R 1 양단의 전압 강하를 아는 데 관심이 있으므로 이 병렬 분기를 통해 흐르는 전류를 찾아야 합니다.

전류 분할 규칙은 한 분기를 통과하는 전류가 총 전류에 총 전류의 비율을 곱한 것과 같다고 명시합니다. 그러면 병렬 분기 R1 과 R2 를 통과 하는 전류는 다음과 같이 계산됩니다.

 

저항 R 1 과 R 2 의 왼쪽 병렬 분기를 통해 흐르는 4 암페어가 있으므로 다음과 같이 옴의 법칙을 사용하여 R 1 양단의 전압 강하를 찾을 수 있습니다 .

V R1(2) = I 1 x R 1 = 4 x 2 = 8V

 

각 병렬 분기의 저항 값이 동일한 경우(이 예에서와 같이) 전류는 각 분기 간에 동일하게 분배됩니다. 저항 값이 다르면 저항 값이 가장 큰 분기를 통해 흐르는 전류가 줄어들고 그 반대도 마찬가지입니다.

따라서 8A 전류 소스와 20V 전압 소스가 모두 회로에 다시 연결된 경우 저항 R1 의 실제 전압은 다음과 같이 제공됩니다.

V R1 = V R1(1) + V R1(2) = 4V + 8V = 12볼트

다시 말하지만, 동일한 분석 기술을 사용하여 저항 R 2 및 R 3 양단의 전압 강하를 찾을 수 있습니다 .

중첩 정리 요약

우리는 여러 개의 독립적인 전압 또는 전류 소스를 포함하는 선형 회로에서 중첩 정리를 사용하여 단독으로 작동하는 독립적 소스에 의해 생성된 각 회로 요소의 전압 및/또는 전류를 찾은 다음 해당 효과를 결합할 수 있음을 확인했습니다. 회로.

중첩 정리가 정확하게 작동하려면 모든 이상적인 전압 소스가 단락 회로로 대체되고 모든 이상적인 전류 소스가 개방 회로로 대체됩니다. 비이상적인 소스는 일반적으로 내부 저항으로 대체됩니다.

그러면 중첩 정리를 사용하여 회로를 해결하는 기본 절차는 다음과 같습니다.

• 1. 회로에서 전압 소스, 전류 소스 등 모든 독립 소스를 식별하고 회로에서 소스 하나만 선택합니다.
• 2. 다른 모든 독립 소스를 끄고(단락 또는 개방) 하나의 활성 소스만 사용하여 회로를 분석합니다.
• 3. 표준 회로 분석 기술(옴의 법칙, 키르히호프의 법칙)을 사용하여 선택한 단일 소스로 인해 원하는 회로 요소, 분기 또는 노드를 통과하는 전압 또는 전류를 결정합니다.
• 4. 다른 소스는 모두 끄고 해당 소스의 효과만 고려하여 각 독립 소스에 대해 한 번에 하나씩 반복합니다.
• 5. 각 소스에서 얻은 개별 응답을 대수적으로 합산하여 관심 있는 회로 요소, 분기 또는 노드에서의 전체 응답을 찾습니다.
• 6. 모든 소스가 동시에 작용할 때 극성, 기호 규칙 및 결합된 반응의 흐름 방향에 주의를 기울이십시오.

중첩 정리는 선형 회로에만 적용할 수 있지만, 독립 소스가 많은 회로에서는 분석이 번거로울 수 있으므로 실용적이지 않을 수 있습니다. 이러한 경우 노드 분석이나 메쉬 분석과 같은 다른 회로 분석 방법이 더 유용하고 효율적일 수 있습니다.