다음의 예제 회로를 가져와 분석해 보겠습니다.
예제 시리즈 R, L, C 회로.
리액턴스에 대한 해결책
첫 번째 단계는 인덕터 와 커패시터 의 리액턴스(옴)를 결정하는 것입니다 .
다음 단계는 모든 저항과 리액턴스를 수학적으로 일반적인 형태인 임피던스로 표현하는 것입니다. (아래 그림)
유도성 리액턴스는 양의 허수 임피던스(또는 +90°에서의 임피던스)로 변환되고, 용량성 리액턴스는 음의 허수 임피던스(-90°에서의 임피던스)로 변환된다는 점을 기억하세요. 물론 저항은 여전히 순전히 "실제" 임피던스(0°의 극각)로 간주됩니다.
구성 요소 값을 임피던스로 대체한 R, L, C 시리즈 회로의 예입니다.
결과 표로 정리:
이제 전류에 대한 모든 반대의 양이 공통적인 복소수 형식(저항이나 리액턴스가 아닌 임피던스)으로 표현되므로 DC 회로의 일반 저항과 같은 방식으로 처리할 수 있습니다.
이제 이 회로에 대한 분석 표를 작성하고 주어진 모든 수치(전체 전압, 저항기, 인덕터, 커패시터의 임피던스)를 삽입하기에 이상적인 시점입니다.
달리 명시하지 않는 한, 소스 전압은 위상 변화에 대한 기준이 되므로 0° 각도로 작성됩니다. 전압이나 전류에 대한 위상 변화의 "절대" 각도라는 것은 없다는 것을 기억하세요. 항상 다른 파형에 대한 상대적인 양이기 때문입니다.
그러나 임피던스의 위상각(저항기, 인덕터, 커패시터의 위상각과 마찬가지로)은 각 구성 요소의 전압과 전류 사이의 위상 관계가 절대적으로 정의되어 있기 때문에 절대적으로 알려져 있습니다.
완벽한 반응성 인덕터와 커패시터를 가정하고 있으며, 임피던스 위상각이 각각 정확히 +90°와 -90°라고 가정합니다.
실제 구성 요소가 이 점에서 완벽하지는 않겠지만, 상당히 비슷할 것입니다. 단순화를 위해, 지금부터는 예시 계산에서 완벽하게 반응하는 인덕터와 커패시터를 가정하겠습니다(달리 언급된 경우 제외).
위의 예시 회로는 직렬 회로이므로 전체 회로 임피던스는 각 개인의 합과 같습니다. 따라서 다음과 같습니다.
총 임피던스에 대한 이 수치를 표에 삽입합니다.
이제 우리는 "전체" 열에 수직으로 옴의 법칙 (I=E/R)을 적용하여 이 직렬 회로의 전체 전류를 구할 수 있습니다.
직렬 회로이므로 전류는 모든 구성 요소를 통해 동일해야 합니다. 따라서 총 전류에 대해 얻은 수치를 취하여 다른 각 열에 분배할 수 있습니다.
이제 우리는 전압 강하를 결정하기 위해 표의 각 구성 요소 열에 옴의 법칙(E=IZ)을 적용할 준비가 되었습니다.
여기서 이상한 점을 알아차리세요. 공급 전압이 120볼트에 불과하지만 커패시터 전압은 137.46볼트입니다! 어떻게 이럴 수 있을까요? 답은 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스 간의 상호 작용에 있습니다.
임피던스로 표현하면, 인덕터가 커패시터와 정확히 반대되는 방식으로 전류에 반대하는 것을 볼 수 있습니다. 직사각형 형태로 표현하면, 인덕터의 임피던스는 양의 허수 항을 갖고 커패시터는 음의 허수 항을 갖습니다.
이 두 개의 반대 임피던스가 더해지면(직렬로) 서로 상쇄되는 경향이 있습니다! 여전히 합쳐져서 합 이 생기지만, 그 합은 실제로 개별(용량성 또는 유도성) 임피던스 중 하나만보다 적습니다 .
이는 양수와 음수(스칼라)를 더하는 것과 유사합니다. 합은 두 수의 개별 절대값보다 작은 양이 됩니다.
유도성 소자와 용량성 소자가 모두 있는 직렬 회로의 총 임피던스가 각 소자의 임피던스보다 작다면, 해당 회로의 총 전류는 유도성 소자만 있거나 용량성 소자만 있을 때의 총 전류보다 커야 합니다.
각 구성 요소를 통과하는 이 비정상적으로 높은 전류로 인해 일부 개별 구성 요소에서 소스 전압보다 더 큰 전압을 얻을 수 있습니다! 동일한 회로에서 인덕터와 커패시터의 반대 리액턴스의 추가 결과는 다음 장에서 탐구됩니다.
모든 구성 요소 값을 임피던스(Z)로 줄이는 기술을 익히면 AC 회로를 분석하는 것은 DC 회로를 분석하는 것만큼 어렵지 않습니다. 다만 다루는 양이 스칼라가 아닌 벡터라는 점이 다릅니다.
전력(P)을 다루는 방정식을 제외하고 AC 회로의 방정식은 저항(R) 대신 임피던스(Z)를 사용하는 DC 회로의 방정식과 동일합니다. 옴의 법칙(E=IZ)은 여전히 유효하며 키르히호프의 전압 및 전류 법칙도 마찬가지입니다.
AC 회로에서 키르히호프의 전압 법칙을 보여주기 위해 , 우리는 마지막 회로에서 구성 요소 전압 강하에 대해 도출한 답을 살펴볼 수 있습니다. KVL은 저항, 인덕터, 커패시터의 전압 강하의 대수 합이 소스에서 인가된 전압과 같아야 한다고 말합니다.
언뜻 보기에 사실이 아닌 것처럼 보일 수도 있지만, 복소수를 조금 더 덧셈해보면 그렇지 않다는 것이 증명됩니다.
약간의 반올림 오차를 제외하면, 이 전압 강하의 합은 120볼트와 같습니다. 계산기로 계산하면(모든 숫자를 보존) 정확히 120 + j0볼트가 나올 것입니다 .
SPICE를 사용하여 이 회로에 대한 수치를 확인할 수도 있습니다.
예제 시리즈 R, L, C SPICE 회로.
r1 1 2 250
l1 2 3 650m
씨1 3 0 1.5유
.ac 라인 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1)
.끝
주파수 v(1,2) v(2,3) v(3) i(v1)
6.000E+01 1.943E+01 1.905E+01 1.375E+02 7.773E-02
주파수 vp(1,2) vp(2,3) vp(3) ip(v1)
6.000E+01 8.068E+01 1.707E+02 -9.320E+00 -9.932E+01
SPICE 시뮬레이션은 우리가 직접 계산한 결과가 정확함을 보여줍니다.
보시다시피, AC 회로 분석과 DC 회로 분석 사이에는 거의 차이가 없습니다. 단, 위상각을 설명하기 위해 전압, 전류, 저항(실제로는 임피던스 )의 모든 양을 스칼라 형태가 아닌 복소수 형태로 처리해야 한다는 점이 다릅니다.
이것은 DC 전기 회로에 대해 배운 모든 것이 여기서 배우는 것에 적용된다는 것을 의미하므로 좋습니다. 이 일관성에 대한 유일한 예외는 전력 계산으로, 이는 매우 독특하여 그 주제에만 전념한 장을 가질 만합니다.
검토:
- 모든 종류의 임피던스는 직렬로 추가됩니다. Z Total = Z 1 + Z 2 + . . . Z n
- 임피던스는 직렬로 더해지지만 인덕턴스와 커패시턴스를 모두 포함하는 회로의 총 임피던스는 개별 임피던스 중 하나 이상보다 작을 수 있습니다. 직렬 유도성 및 커패시턴스 임피던스는 서로 상쇄되는 경향이 있기 때문입니다. 이로 인해 구성 요소에서 공급 전압을 초과하는 전압 강하가 발생할 수 있습니다!
- 모든 DC 회로의 규칙과 법칙은 값이 스칼라가 아닌 복소수 형태로 표현되는 한 AC 회로에도 적용됩니다. 이 원리에 대한 유일한 예외는 전력 계산으로 , AC와는 매우 다릅니다.