합계의 곱
합계 표현의 곱은 두 개 이상의 OR 합계의 AND 곱을 제공하여 출력을 생성하는 논리적 OR-AND 함수와 동일합니다.
SOP( Sum-of-Products ) 표현식 에 대한 튜토리얼에서 우리는 이것이 두 개 이상의 논리 AND 게이트와 OR 의 출력을 가져와 두 개 이상의 "곱"을 "합산"하는 표준 부울(전환) 표현식을 나타내는 것을 확인했습니다. 최종 출력을 생성하기 위해 함께 사용됩니다. 그러나 두 개 이상의 OR 게이트의 출력을 가져와 AND 게이트 에 대한 입력으로 연결하여 "합계의 곱"(OR-AND 논리) 출력을 생성할 수도 있습니다.
부울 대수학에서 두 값을 더하는 것은 논리적 OR 함수와 동일하므로 두 개 이상의 입력 변수 또는 상수가 함께 " OR "될 때 "합계 " 항을 생성합니다. 즉, 부울 대수에서 OR 함수는 덧셈과 동일하므로 출력 상태는 입력의 "합계"를 나타냅니다.
합계 표현식의 곱은 일반적인 참 형식이나 보수 형식 또는 두 가지의 조합 중 하나 이상의 변수로 구성된 합계로 구성된 부울 표현식이며, 두 변수는 함께 AND 로 연결됩니다 . 다중 변수의 부울 함수가 곱셈 항으로 표현되는 경우 각 항을 최대항이라고 합니다. 즉, 나중에 살펴보겠지만 변수는 논리 "0"으로 간주됩니다. 하지만 먼저 Sum Term을 나타내는 것이 무엇인지 더 자세히 이해해 보겠습니다 .
합계(OR) 항
AND 함수는 일반적으로 제품 용어 로 참조되는 반면 , OR 함수는 합계 용어로 참조됩니다. OR 함수 는 더하기 기호( + )로 표시되는 덧셈과 수학적으로 동일합니다. 따라서 2-입력 OR 게이트는 A 와 B 의 논리합이기 때문에 A + B 의 부울 표현식으로 표시되는 출력 항을 갖습니다 .
OR 게이트(합)
OR 함수가 두 개 이상의 입력 변수 또는 상수의 합산 항을 생성하므로 이 논리합은 일반적으로 부울 덧셈으로 알려져 있습니다 . 따라서 2-입력 OR 게이트에 대한 부울 방정식은 다음과 같이 제공됩니다. Q = A+B, 즉 Q는 A OR B와 같습니다. 합계 항의 경우 이러한 입력 변수는 "true" 또는 "false", "1"이 될 수 있습니다. ” 또는 “0”이거나 보수형이므로 A+B , A+ B , A + B 는 모두 합항으로 분류됩니다.
따라서 이제 우리는 부울 대수학에서 "합계"는 진정한 비보수 형식 또는 보수 형식의 하나의 인스턴스를 갖는 합계 항의 변수와 항을 OR하는 것을 의미하므로 결과 합계 표현식은 어떤 경우에도 단순화될 수 없다는 것을 알고 있습니다. 더 나아가. 이러한 합계 항은 maxterms 로 알려져 있습니다 . 즉, 최대 항은 부울 표현식 내에서 반전이 있거나 없는 모든 변수와 상수의 완전한 합계입니다. 그렇다면 부울 대수학에서 이 "sum" 함수의 작동을 어떻게 보여줄 수 있습니까?
합계 항은 A 및 B 와 같은 하나 또는 두 개의 독립 변수를 가질 수도 있고 , 다시 0 및 1 과 같은 하나 또는 두 개의 고정 상수를 가질 수도 있습니다 . 다음 목록에 표시된 대로 합계 결과를 생성하는 다양한 조합으로 이러한 변수와 상수를 사용할 수 있습니다.
부울 대수 합계 용어
- 변수와 상수
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
- A + A = 1
- 상수만
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 1
부울 "변수"는 "1" 또는 "0"의 두 값 중 하나를 가질 수 있으며 해당 값을 변경할 수 있습니다. 예를 들어, A = 0 또는 A = 1인 반면 "1" 또는 "0" 형태일 수도 있는 부울 "상수"는 고정된 값이므로 변경할 수 없습니다.
그런 다음 주어진 부울 합계가 아래에 제공된 다양한 부울 법칙에 대한 간략한 설명과 함께 단일 상수 또는 변수로 단순화될 수 있음을 알 수 있습니다. 여기서 "A"는 변수 입력을 나타냅니다.
- 동일성 법칙 - 0과 OR'ed 항은 항상 항과 같습니다(A+0 = A)
- 무효법 – 1과 OR'ed 항은 항상 1과 같습니다(A+1 = 1).
- 멱등 법칙 - 자신과 OR'ed 항은 항상 항과 같습니다(A+A = A)
- 보수 법칙 - 보수와 OR'ed 항은 항상 1과 같습니다(A+ A = 1).
- 교환법칙 – 두 항이 OR되는 순서는 동일합니다(A+1 = 1+A).
제품(AND) 용어
OR 함수를 일반적으로 합계 항이라고 하는 반면 , AND 함수는 곱 항이라고 합니다. AND 함수 는 십자 기호 ( x ) 또는 별표 ( * ) 기호 로 표시되는 곱셈과 수학적으로 동일합니다 . 따라서 2-입력 AND 게이트는 A 와 B 의 논리적 곱이기 때문에 AB 의 부울 표현식으로 표시되는 출력 항을 갖습니다 .
AND 게이트(제품)
AND 함수는 두 개 이상의 입력 변수 또는 상수의 곱셈 항을 생성하므로 이 논리 곱은 일반적으로 부울 곱셈으로 알려져 있습니다 . 그러나 지금은 AND 함수가 Product Term 을 나타낸다 는 점을 기억하겠습니다 .
합계의 곱
따라서 우리는 OR 함수가 부울 덧셈의 논리적 합을 생성하고, AND 함수가 부울 곱셈의 논리적 합을 생성한다는 것을 확인했습니다 . 그러나 AND 게이트, OR 게이트 및 NOT 게이트가 함께 연결된 조합 논리 회로를 다룰 때는 Product-of-Sum 표현이 널리 사용됩니다.
POS( 곱의 곱 ) 표현 은 둘 이상의 합계(OR)가 함께 추가(AND')된다는 사실에서 비롯됩니다. 즉, 두 개 이상의 OR 게이트의 출력이 AND 게이트 의 입력에 연결되어 효과적으로 AND되어 최종 (OR AND) 출력을 생성합니다. 예를 들어, 다음 부울 함수는 일반적인 합계 표현식입니다.
합계 표현식의 곱
Q = (A + B).( B + C).(A + 1)
그리고 또한
(A + B + C).(A + C).( B + C )
그러나 불리언 함수는 아래와 같이 비표준적인 합 형태의 곱으로도 표현할 수 있으나, 분포법칙을 이용하여 합에 대한 표현을 확장함으로써 표준 POS 형태로 변환할 수 있다. 그러므로:
Q = A + ( BC )
확장된 합계 제품 조건이 됩니다.
Q = (A + B )(A + C)
또 다른 비표준 예는 다음과 같습니다.
Q = (A + B ) + (AC)
확장된 합계 표현이 됩니다.
Q = (A + B + A)(A + B + C)
필요한 경우 분배 법칙 과 흡수 법칙을 사용하여 줄일 수도 있습니다 .
Q = (A + B )(A + B + C)
큐 = A + B + C
Q = A + B
POS 표현식을 진리표로 변환
논리 "0" 출력을 생성하는 각 입력 조합은 아래와 같이 OR 또는 합계 항 이므로 진리표 형식으로 합계 항을 표시할 수 있습니다 .
다음과 같은 합계 표현의 곱을 고려해보세요.
Q = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )
이제 위 표현식에 대한 진리표를 작성하여 A , B 및 C 에 대해 가능한 모든 입력 조합 목록을 표시할 수 있으며 결과는 "0"입니다.
합계 진리표 형태의 곱
| 입력 | 산출 | 제품 | ||
| 씨 | 비 | ㅏ | 큐 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | A + B + C |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | A + B + C |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | A + B + C |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
그런 다음 출력에 대해 "0"을 생성하는 각 행이 "1" 출력을 갖는 다른 모든 행과 함께 부울 덧셈 표현식에 해당한다는 것을 진리표에서 명확하게 볼 수 있습니다. 여기서 장점은 진리표가 부울 표현식의 시각적 표시를 제공하여 모든 입력이 "0"과 같을 때 합계 항이 "0" 출력을 생성한다는 것을 기억하여 표현식을 단순화할 수 있다는 것입니다. 따라서 합계 항 행을 "0"과 같게 만들려면 "1"과 같은 모든 입력을 반전해야 합니다.
합계 예
다음 부울 대수 표현식은 다음과 같이 제공됩니다.
Q = (A + B + C)(A + B + C ) ( A + B + C )(A + B + C )
1. 진리표를 사용하여 "0" 출력을 생성하는 입력 조건의 가능한 모든 조합을 표시합니다.
2. POS 표현에 대한 논리 게이트 다이어그램을 그립니다.
1. 진리표
합계 진리표 형태의 곱
| 입력 | 산출 | 제품 | ||
| 씨 | 비 | ㅏ | 큐 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | A + B + C |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | A + B + C |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | A + B + C |
| 1 | 1 | 0 | 0 | A + B + C |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
2. 논리 게이트 다이어그램
그런 다음 이 튜토리얼에서 POS( Product-of-Sum ) 표현식이 둘 이상의 "합계"의 "곱"을 취하는 표준 부울 표현식이라는 것을 확인했습니다 . 디지털 논리 회로의 경우 POS 표현은 두 개 이상의 논리 OR 게이트 의 출력을 취하고 이를 AND하여 최종 OR-AND 논리 출력을 생성합니다.