상태 변수 필터

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상태 변수 필터

상태 변수 필터는 동일한 단일 능동 필터 설계에서 저역 통과 , 고역 통과 및 대역 통과 의 세 가지 필터 응답을 동시에 생성할 수 있는 다중 피드백 필터 회로 유형입니다 .

상태 변수 필터는 함께 계단식으로 연결된 3개(또는 그 이상)의 연산 증폭기 회로(활성 요소)를 사용하여 개별 필터 출력을 생성하지만 필요한 경우 추가 합산 증폭기를 추가하여 네 번째 노치 필터 출력 응답도 생성할 수도 있습니다.

상태 변수 필터는 2개의 동일한 연산 증폭기 적분기로 구성된 2차 RC 능동 필터입니다. 각 적분기는 1차 단극 저역 통과 필터, 필터 이득 및 감쇠 피드백을 설정할 수 있는 합산 증폭기로 작동합니다. 회로망. 3개의 연산 증폭기 단계 모두의 출력 신호가 입력으로 피드백되어 회로 상태를 정의할 수 있습니다.

상태 가변 필터 설계의 주요 장점 중 하나는 세 가지 필터 주요 매개변수인 게인(A), 코너 주파수, θC 및 필터 Q를 모두 필터 성능 에 영향 을 주지 않고 독립적으로 조정하거나 설정할 수 있다는 것입니다.

실제로 올바르게 설계했다면   저역 통과 진폭 응답과 고역 통과 진폭 응답 모두에 대한 -3dB 코너 주파수( ) 지점은 대역 통과 단계의 중심 주파수 지점과 동일해야 합니다 . 즉, § LP(-3dB)는 § HP(-3dB) 와 동일하며 이는 § BP(center)와 동일합니다 . 또한 Q가 -3dB(0.7071)로 설정되므로 대역 통과 필터 응답에 대한 감쇠 계수(  ζ  )는 1/Q와 같아야 합니다.

 

필터는 저역 통과(LP), 고역 통과(HP) 및 대역 통과(BP) 출력을 제공하지만 이러한 유형의 필터 회로의 주요 애플리케이션은 두 RC 정수로 설정된 중심 주파수를 갖는 상태 가변 대역 통과 필터 설계입니다. .

이전에 저역 통과 필터와 고역 통과 필터를 단순히 계단식으로 연결하면 대역 통과 필터 특성을 얻을 수 있다는 점을 살펴보았지만, 상태 가변 대역 통과 필터는 매우 선택적인(높은 Q) 제공을 제공하도록 조정할 수 있다는 장점이 있습니다. 중심 주파수 지점에서 높은 이득.

반전 및 비반전 변형이 모두 가능한 표준 필터 설계를 기반으로 하는 여러 가지 상태 변수 필터 설계가 있습니다. 그러나 기본 필터 설계는 다음 블록 다이어그램 표현에 표시된 것처럼 두 변형 모두에서 동일합니다.

상태 변수 필터 블록 다이어그램

 

그런 다음 위의 기본 블록 다이어그램에서 상태 변수 필터 에는 3개의 연산 증폭기에서 각각 하나씩 VHP , VBP 및 VLP 의 세 가지 가능한 출력이 있음을 알 수 있습니다 . 노치 필터 응답은 네 번째 연산 증폭기를 추가하여 구현할 수도 있습니다.

입력 전압이 일정한 경우 합산 증폭기의 출력 V IN은 첫 번째 RC 적분기의 입력이기도 한 고역 통과 응답을 생성합니다. 이 적분기의 출력은 출력에서 ​​저역 통과 응답을 생성하는 두 번째 RC 적분기의 입력이 되는 대역 통과 응답을 생성합니다. 결과적으로 입력 전압에 대한 각 개별 출력의 별도 전달 함수를 찾을 수 있습니다.

따라서 기본 비반전 상태 변수 필터 설계는 다음과 같이 제공됩니다.

상태 가변 필터 회로

 

상태 변수 필터의 3개 출력에 대한 진폭 응답은 다음과 같습니다.

상태 변수 필터의 정규화된 응답

 

상태 가변 필터의 주요 설계 요소 중 하나는 두 개의 연산 증폭기 적분기를 사용하는 것입니다. 적분기 튜토리얼에서 본 것처럼 연산 ​​증폭기 적분기는 피드백 루프 내에서 커패시터 형태의 주파수 종속 임피던스를 사용합니다. 커패시터를 사용하면 출력 전압은 그림과 같이 입력 전압의 적분에 비례합니다.

연산 증폭기 적분기 회로

 

수학을 조금 단순화하기 위해 주파수 영역에서 다음과 같이 다시 작성할 수도 있습니다.

 

출력 전압 Vout은 시간에 대한 입력 전압 Vin 의 적분의 상수 1/RC 배입니다. 적분기는 입력 신호가 연산 증폭기의 반전 입력 단자에 직접 연결되기 때문에 180o 위상 편이를 나타내는 빼기 기호( –  )가 있는 위상 지연을 생성합니다  .

위의 연산 증폭기 A2 의 경우 , 입력 신호는 앞선 연산 증폭기 A1 의 출력에 연결되므로 입력은 VHP , 출력은 VBP 가 됩니다 . 그런 다음 위에서 연산 증폭기 A2 의 표현식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

 

그런 다음 이 공식을 재배열하여 반전 적분기의 전달 함수 A2를 찾을 수 있습니다.

연산 증폭기 A2 전달 함수

 

다른 연산 증폭기 적분기인 A3 에 대한 전달 함수를 찾기 위해 위와 정확히 동일한 가정을 할 수 있습니다.

연산 증폭기 A3 전달 함수

 

따라서 두 개의 연산 증폭기 적분기 A2 와 A3 는 캐스케이드 방식으로 함께 연결되므로 첫 번째 출력( V BP )이 두 번째 입력이 됩니다. 따라서 고역통과 응답을 적분하여 대역통과 응답이 생성되고, 대역통과 응답을 적분하여 저역통과 응답이 생성되는 것을 알 수 있습니다. 따라서 V HP 와 V LP 사이의 전달 함수는 다음과 같이 주어진다.

 

각 적분기 단계는 반전된 출력을 제공하지만 합산된 출력은 반전 적분기이기 때문에 양수입니다. R 과 C 에 대해 정확히 동일한 값을 사용하여 두 회로가 동일한 적분기 시상수를 갖는 경우 두 증폭기 회로는 코너 주파수 fc 를 갖는 하나의 단일 적분기 회로로 간주될 수 있습니다 .

두 개의 적분기 회로뿐만 아니라 필터에는 입력의 가중 합산을 제공하는 차동 합산 증폭기도 있습니다. 여기서 장점은 세 가지 출력이 모두 합산 입력으로 피드백됨에 따라 합산 증폭기에 대한 입력인 A1이 진동 피드백, 댐핑 및 필터에 대한 입력 신호를 결합한다는 것입니다.

증폭기 합산 회로

 

연산 증폭기 A1 은 가산기-감산기 회로로 연결됩니다. 즉, 입력 신호 V IN 을 연산 증폭기 A2 의 V BP 출력 과 합산하고 여기에서 연산 증폭기 A3 의 V LP 출력을 뺍니다 .

그리고

 

연산 증폭기의 차동 입력인 +V 와 -V는 동일하므로, 즉 +V – -V 이므로 위의 두 식을 재배열하여 A1 의 출력인 고역 통과 출력 에 대한 전달 함수를 찾을 수 있습니다 .

 

우리는 위에서 VBP 와 VLP 가 각각 두 적분기 A2 와 A3 의 출력이라는 것을 알고 있습니다 . A2 와 A3 에 대한 적분기 방정식을 위 방정식에 대체하면 상태 변수 필터의 전달 함수가 다음과 같이 얻어집니다.

상태 변수 필터 전달 함수

 

이전에 상태 변수 필터는 저역 통과 , 고역 통과 및 대역 통과 의 세 가지 필터 응답을 생성 하고 대역 통과 응답은 매우 좁은 고Q 필터의 응답이며 이는 위의 SVF 전달 함수에서 다음과 유사하다는 것이 분명합니다. 표준 2차 반응입니다.

정규화된 2차 전달 함수

필터 코너 주파수, § C

적분기 입력 저항과 피드백 커패시터를 모두 동일하게 만들면 전체 Q 에 영향을 주지 않고 상태 변수 필터 코너 주파수를 쉽게 조정할 수 있습니다 . 마찬가지로 코너 주파수를 변경하지 않고도 Q 값을 변경할 수 있습니다. 그러면 코너 주파수는 다음과 같이 주어진다.

상태 변수 필터 코너 주파수

 

피드백 저항 R3 과 R4를 동일한 값으로 만들면 상태 변수 필터에서 출력되는 각 필터의 ​​코너 주파수는 다음과 같이 됩니다.

 

그런 다음 상태 변수 코너 주파수의 튜닝은 튜닝 저항 R 또는 커패시터 C 를 변경하여 간단히 수행됩니다 .

상태 변수 필터는 개별 출력 응답뿐만 아니라 필터 "Q" , 품질 계수로 특징지어집니다. Q는 대역 통과 필터 진폭 응답 곡선의 "선명도"와 관련이 있으며 , Q 가 높을수록 출력 응답이 더 높거나 더 날카로워져 필터 선택성이 매우 높아집니다.

대역 통과 필터의 경우 Q는 중심 주파수를 필터 -3dB 대역폭으로 나눈 값, 즉 Q = fc/BW 로 정의됩니다 . 그러나 Q는 감쇠 인자( ζ ) 의 역수이므로 위 전달 함수의 분모에서 찾을 수도 있습니다 . 그러면 Q는 다음과 같이 주어진다.

상태 변수 필터의 Q 인자

 

다시 말하지만, 저항 R3 과 R4 가 동일하고 적분기 구성 요소 R 과 C가 모두 동일하면 최종 제곱근 표현은 다음과 같이 줄어듭니다. 분자 와 분모가 서로 상쇄되므로 √1 또는 간단히 1이 됩니다.

상태변수 필터 예제 No1

코너(자연 비감쇠) 주파수 fc 1kHz와 품질 계수 Q 10 을 갖는 상태 변수 필터를 설계합니다 . 주파수 결정 저항기와 커패시터가 모두 동일하다고 가정합니다. 필터 DC 이득을 결정하고 결과 회로와 보드 플롯을 그립니다.

위에서 두 적분기 회로의 저항 R 과 피드백 커패시터 C가 동일한 값, 즉 R = R 및 C = C 인 경우 필터의 차단 또는 코너 주파수 지점은 간단히 제공된다고 말했습니다. 처럼:

필터의 코너 주파수

저항이나 커패시터의 값을 선택하여 다른 값을 찾을 수 있습니다. 커패시터에 적합한 값을 10nF 로 가정하면 저항 값은 다음과 같습니다.

C = 10nF 및 R = 15.9kΩ 또는 16kΩ을 가장 가까운 선호 값으로 제공합니다 .

Q 의 값은 10 으로 주어진다 . 이는 다음과 같이 필터 감쇠 계수와 관련됩니다.

위의 상태 변수 전달 함수에서 2ζ 부분은 다음을 제공하는 저항기 조합으로 대체됩니다.

위에서 R = 16kΩ 및 C = 10nF 라는 것을 알고 있지만 두 개의 피드백 저항 R3 및 R4 가 동일하고 10kΩ 이라고 가정하면 위 방정식은 다음과 같이 줄어듭니다.

입력 저항 R1 에 적합한 값을 1kΩ 이라고 가정하면 다음과 같이 R2 값을 찾을 수 있습니다 .

위의 정규화된 전달 함수로부터 DC 통과대역 이득은 Ao로 정의되며 등가 상태 변수 필터 전달 함수로부터 이는 다음과 같습니다.

SVF 필터 DC 통과대역 이득

따라서 필터의 DC 전압 이득은 1.9로 계산되며 이는 기본적으로 R2/R3 과 동일합니다 . 또한 f C 에서 필터의 최대 이득은 다음과 같이 A o  x Q 로 계산할 수 있습니다 .

SVF 필터 최대 이득

상태 가변 필터 회로

그러면 상태 가변 필터 회로의 설계는 그림과 같이 R = 16kΩ , C = 10nF , R1 = 1kΩ , R2 = 19kΩ 및 R3 = R4 = 10kΩ이 됩니다 .

상태 변수 필터 설계

 

이제 표시된 대로 1Hz~1MHz의 주파수 범위에 대한 상태 가변 필터 회로의 개별 출력 응답 곡선을 보드 플롯에 그릴 수 있습니다.

상태 변수 필터 보드 플롯

 

그런 다음 위의 필터 응답 곡선에서 볼 수 있듯이 필터 회로의 DC 이득은 5.57dB이며 이는 위에서 계산된 개방 루프 전압 이득 Ao 또는 1.9와 동일 합니다 . 또한 응답은 Q 값으로 인해 코너 주파수에서 출력 곡선이 25.6dB의 최대 전압 이득에서 정점에 도달한다는 것을 보여줍니다 . Q는 또한 대역 통과 필터의 중심 주파수를 대역폭과 연관시키므로 필터의 대역폭은 다음과 같습니다. f o /10 = 100Hz .

우리는 이 상태 변수 필터 튜토리얼에서 한 가지 유형의 주파수 응답을 생성하는 능동 필터 대신 다중 피드백 기술을 사용하여 동일한 단일 활성에서 저역 통과 , 고역 통과 및 대역 통과 의 세 가지 필터 응답을 동시에 생성할 수 있음을 확인했습니다. 필터 디자인.

그러나 세 가지 기본 필터 응답 외에도 위의 기본 상태 가변 필터 설계에 추가 연산 증폭기 회로를 추가하여 표준 노치 필터 와 유사한 네 번째 출력 응답을 생성할 수 있습니다 .

노치 필터 설계

노치 필터 필터는 기본적으로 특정 주파수 대역을 거부하거나 중지한다는 점에서 대역 통과 필터와 반대입니다. 그런 다음 노치 필터를 "대역 저지 필터"라고도 합니다. 기본 상태 가변 필터 설계에서 노치 필터의 응답을 얻으려면 그림과 같이 다른 연산 증폭기 A4 를 사용하여 고역 통과 및 저역 통과 출력 응답을 합산해야 합니다.

노치 필터 회로

 

여기서는 단순화를 위해 두 개의 입력 저항인 R5 및 R6 과 피드백 저항인 R7이 모두 R3 및 R4 와 마찬가지로 10kΩ 의 동일한 값을 갖는다고 가정했습니다 . 따라서 이는 노치 필터에 1, 1의 이득을 제공합니다.

노치 필터와 대역통과 필터의 출력 응답은 대역통과 응답의 중심 주파수가 노치 필터의 제로 응답 지점과 동일하며 이 예에서는 1kHz가 됩니다.

또한 노치의 대역폭은 통과 대역 응답과 정확히 동일한 회로 Q 에 의해 결정됩니다. 따라서 하향 피크는 중심 주파수를 -3dB 대역폭으로 나눈 값, 즉 노치 양쪽의 -3dB 지점 사이의 주파수 차이와 동일합니다. 품질 계수 Q는 노치의 실제 깊이와 아무 관련이 없습니다.

이 기본 노치 필터(대역 저지) 설계 에는 합산 증폭기에 적용되는 2개의 입력, 즉 저역 통과 출력 VLP 와 고역 통과 출력 VHP 만 있습니다 . 그러나 기본 상태 가변 필터 회로, 대역 통과 출력 V BP 및 입력 신호 자체 V IN 에서 사용할 수 있는 신호가 두 개 더 있습니다 .

이 두 신호 중 하나가 저역 통과 및 고역 통과 신호와 함께 노치 필터 합산 증폭기에 대한 입력으로도 사용되는 경우 노치의 깊이를 제어할 수 있습니다.

노치 필터 섹션의 출력을 제어하려는 방법에 따라 사용 가능한 두 신호 중 어느 신호를 사용할 것인지가 달라집니다. 출력 노치가 감쇠되지 않은 고유 주파수 f o 에서 음의 응답에서 양의 응답으로 변경되어야 하는 경우 대역 통과 출력 신호 VBP 가 사용됩니다.

마찬가지로, 출력 노치가 하향 음의 깊이에서만 변해야 하는 경우 입력 신호 VIN 이 사용됩니다. 이 두 개의 추가 신호 중 하나가 가변 저항을 통해 연산 증폭기 합산 증폭기에 연결되면 노치의 깊이와 방향을 완전히 제어할 수 있습니다. 아래의 수정된 노치 필터 회로를 고려하십시오.

가변 노치 필터 깊이

상태 변수 필터 요약

상태 변수 필터 ( SVF ) 회로는 다중 피드백 기술을 사용하여 동일한 단일 필터에서 저역 통과 , 고역 통과 및 대역 통과 의 세 가지 주파수 응답 출력을 생성하는 2차 능동 RC 필터 설계입니다 . 다른 기본 필터 설계에 비해 상태 변수 필터의 장점은 세 가지 주요 필터 매개변수인 Gain, Q 및 fc를 독립적으로 조정할 수 있다는 것입니다.

또한 필터 감쇠 계수에 영향을 주지 않고 R 또는 C 를 변경하여 코너 주파수를 설정하고 조정할 수 있으므로 필터도 쉽게 조정할 수 있다는 것을 여기서 확인했습니다 . 그러나 더 높은 코너 주파수와 더 큰 감쇠 계수에서는 필터가 불안정해질 수 있으므로 낮은 Q , 10 미만 및 낮은 코너 주파수에서 사용하는 것이 가장 좋습니다.

기본 상태 변수 필터 설계는 3개의 연산 증폭기 섹션을 사용하여 출력을 생성하지만, 저역 통과 섹션과 고역 통과 섹션을 함께 합하는 네 번째 연산 증폭기 섹션을 추가하면 노치(대역 저지) 필터 출력 응답은 원하는 중심 주파수에서도 달성될 수 있습니다.