버터워스 필터 설계
이전 필터 튜토리얼에서는 RC 필터 회로 설계 내에 단일 저항기와 단일 반응성 부품(커패시터)만 포함하는 간단한 1차 유형 저역 통과 및 고역 통과 필터를 살펴보았습니다.
버터워스 필터는 통과 대역 또는 정지 대역에 리플 없이 최상의 출력 응답을 생성하여 최대로 평탄한 필터 응답을 생성하지만 상대적으로 넓은 전이 대역을 희생하는 아날로그 필터 설계입니다.
통신이나 제어 시스템과 같이 신호의 주파수 스펙트럼을 형성하기 위해 필터를 사용하는 애플리케이션에서 롤오프의 모양이나 폭을 "천이 대역"이라고도 합니다. 간단한 1차 필터의 경우 이 전이 대역이 너무 길거나 너무 넓을 수 있으므로 둘 이상의 "차수"로 설계된 능동 필터가 필요합니다. 이러한 유형의 필터는 일반적으로 "고차" 또는 "n차" 필터로 알려져 있습니다 .
복잡성 또는 필터 유형은 필터 "순서"에 의해 정의되며, 이는 설계 내 커패시터 또는 인덕터와 같은 반응성 구성 요소의 수에 따라 달라집니다. 또한 롤오프 속도와 그에 따른 전이 대역 폭은 필터의 차수에 따라 달라지며 간단한 1차 필터의 경우 표준 롤오프 속도는 20dB/10dB 또는 6dB임을 알고 있습니다. /옥타브.
그런 다음 n 번째 숫자 차수를 갖는 필터의 경우 후속 롤오프 속도는 20ndB/decade 또는 6ndB/octave입니다. 따라서 1차 필터의 롤오프 속도는 20dB/decade(6dB/octave)이고, 2차 필터의 롤오프 속도는 40dB/decade(12dB/octave)이며, 4차 필터의 롤오프 속도는 다음과 같습니다. 80dB/decade(24dB/옥타브) 등의 롤오프 속도
3차, 4차, 5차와 같은 고차 필터는 일반적으로 단일 1차 및 2차 필터를 계단식으로 연결하여 형성됩니다.
예를 들어 두 개의 2차 저역 통과 필터를 함께 직렬 연결하여 4차 저역 통과 필터를 생성할 수 있습니다. 형성할 수 있는 필터의 차수에는 제한이 없지만, 차수가 많아질수록 크기와 비용이 증가하고 정확도도 떨어지게 됩니다.
수십년과 옥타브
Decades 및 Octaves 에 대한 마지막 설명입니다 . 빈도 척도에서 10년은 10배 증가(10 곱하기) 또는 10배 감소(10으로 나누기)입니다. 예를 들어, 2~20Hz는 10년을 나타내는 반면, 50~5000Hz는 20년(50~500Hz, 500~5000Hz)을 나타냅니다.
옥타브 는 주파수 스케일을 두 배로 늘리거나(2로 곱하기) 절반으로 나누기(2로 나누기)입니다. 예를 들어, 10~20Hz는 1옥타브를 나타내고, 2~16Hz는 3옥타브(2~4, 4~8, 마지막으로 8~16Hz)로 매번 주파수를 두 배로 늘립니다. 어느 쪽이든 로그 스케일은 증폭기 및 필터로 작업할 때 주파수 값을 표시하기 위해 주파수 영역에서 광범위하게 사용되므로 이를 이해하는 것이 중요합니다.
로그 주파수 스케일
주파수 결정 저항기와 주파수 결정 커패시터가 모두 동일하기 때문에 1차, 2차, 3차 또는 심지어 4차 필터에 대한 차단 또는 코너 주파수( f C )도 동일해야 하며 다음을 구합니다. 이제 우리에게 친숙한 방정식을 사용하여:
1차 및 2차 필터와 마찬가지로, 3차 및 4차 고역 통과 필터는 등가 저역 통과 필터에서 주파수 결정 부품(저항 및 커패시터)의 위치를 간단히 교환함으로써 형성됩니다. 고차 필터는 이전에 저역 통과 필터 및 고역 통과 필터 자습서에서 본 절차에 따라 설계할 수 있습니다. 그러나 모든 주파수 결정 구성 요소가 동일하기 때문에 고차 필터의 전체 이득은 고정되어 있습니다.
필터 근사
지금까지 우리는 저역 통과 및 고역 통과 1차 필터 회로와 그에 따른 주파수 및 위상 응답을 살펴보았습니다. 이상적인 필터는 최대 통과 대역 이득 및 평탄도, 최소 정지 대역 감쇠 및 정지 대역 롤오프(전이 대역)에 대한 매우 가파른 통과 대역에 대한 사양을 제공하므로 많은 수의 네트워크 응답이 이러한 요구 사항을 충족합니다.
선형 아날로그 필터 설계에는 필터 설계에 필요한 전달 함수를 가장 잘 근사화하기 위해 수학적 접근 방식을 사용하는 여러 "근사 함수"가 있다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
이러한 디자인은 Elliptical , Butterworth , Chebyshev , Bessel , Cauer 등 으로 알려져 있습니다 . 이들 5개의 "전통적인" 선형 아날로그 필터 근사 기능 중 버터워스 필터 만 , 특히 저역 통과 버터워스 필터 설계는 여기서 가장 일반적으로 사용되는 기능으로 간주됩니다.
저역 통과 버터워스 필터 설계
버터워스 필터 근사 함수 의 주파수 응답은 통과 대역이 0Hz(DC)부터 컷까지 수학적으로 가능한 한 평탄한 주파수 응답을 갖도록 설계되었기 때문에 "최대로 평탄한"(잔물결 없음) 응답이라고도 합니다. -잔물결 없이 -3dB에서 -오프 주파수. 차단 지점을 넘어서는 더 높은 주파수는 20dB/decade 또는 6dB/octave의 정지 대역에서 0으로 롤오프됩니다. 이는 "품질 요소"인 "Q"가 0.707에 불과하기 때문입니다.
그러나 버터워스 필터의 주요 단점 중 하나는 필터가 통과 대역에서 저지 대역으로 변경됨에 따라 넓은 전이 대역을 희생하면서 이러한 통과 대역 평탄도를 달성한다는 것입니다. 또한 위상 특성도 좋지 않습니다. 다양한 필터 차수에 대한 "벽돌벽" 필터라고 하는 이상적인 주파수 응답과 표준 버터워스 근사치가 아래에 나와 있습니다.
버터워스 필터의 이상적인 주파수 응답
버터워스 필터 차수가 높을수록 필터 설계 내 계단식 스테이지 수가 많아지고 필터가 이상적인 "벽돌 벽" 응답에 가까워집니다.
그러나 실제로는 과도한 통과대역 리플을 생성하므로 버터워스의 이상적인 주파수 응답을 얻을 수 없습니다.
"n차" 버터워스 필터를 나타내는 일반 방정식에서 주파수 응답은 다음과 같습니다.
여기서, n은 필터 차수를 나타내고 Omega Ω 는 2πf 와 동일하며 Epsilon ε 은 최대 통과 대역 이득(A max )입니다. A max 가 컷오프 -3dB 코너 포인트(fc)와 동일한 주파수에서 정의되면 ε은 1과 같으므로 ε 2 도 1이 됩니다. 그러나 이제 A max를 다른 전압 이득 값(예: 1dB 또는 1.1220(1dB = 20*logA max ))으로 정의하려는 경우 엡실론의 새 값 ε 은 다음과 같이 구합니다.
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방정식을 바꾸어 다음을 제공합니다.
필터의 주파수 응답은 다음과 같이 작성된 표준 전압 전달 함수 H(jΩ)를 사용하여 전달 함수에 의해 수학적 으로 정의 될 수 있습니다 .
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참고: ( jΩ )는 S 영역을 나타내기 위해 ( s ) 로 쓸 수도 있습니다 . 2차 저역 통과 필터에 대한 결과 전달 함수는 다음과 같이 제공됩니다.
정규화된 저역 통과 버터워스 필터 다항식
저역 통과 필터 설계를 돕기 위해 Butterworth는 1라디안/초의 차단 코너 주파수에 해당하는 계수 값을 고려하여 정규화된 2차 저역 통과 다항식의 표준 테이블을 생성했습니다.
| N | 인수분해 형식의 정규화된 분모 다항식 |
| 1 | (1+초) |
| 2 | (1+1.414초+초 2 ) |
| 삼 | (1+초)(1+초+초 2 ) |
| 4 | (1+0.765초+초 2 )(1+1.848초+초 2 ) |
| 5 | (1+초)(1+0.618초+초 2 )(1+1.618초+초 2 ) |
| 6 | (1+0.518초+초 2 )(1+1.414초+초 2 )(1+1.932초+초 2 ) |
| 7 | (1+초)(1+0.445초+초 2 )(1+1.247초+초 2 )(1+1.802초+초 2 ) |
| 8 | (1+0.390초+초 2 )(1+1.111초+초 2 )(1+1.663초+초 2 )(1+1.962초+초 2 ) |
| 9 | (1+초)(1+0.347초+초 2 )(1+초+초 2 )(1+1.532초+초 2 )(1+1.879초+초 2 ) |
| 10 | (1+0.313초+초 2 )(1+0.908초+초 2 )(1+1.414초+초 2 )(1+1.782초+초 2 )(1+1.975초+초 2 ) |
필터 설계 – 버터워스 로우 패스
사양이 200라디안/초(31.8Hz)인 통과 대역 주파수( Ωp )에서 A max = 0.5dB , 정지 대역 주파수에서 A min = -20dB 인 능동 저역 통과 버터워스 필터의 차수를 구합니다. ( Ωs )는 800라디안/초입니다. 또한 이러한 요구 사항에 맞게 적합한 버터워스 필터 회로를 설계하십시오.
첫째, 최대 통과 대역 이득 A max = 0.5dB 는 이득 1.0593 과 같습니다. 200rads/s의 주파수( Ωp )에서 0.5dB = 20*log(A)이므로 엡실론 값은 ε 은 다음과 같이 구합니다.
둘째, 최소 정지 대역 이득 Amin = -20dB는 정지 대역 주파수( Ωs ) 800rads/s 또는 127.3Hz 에서 이득 10 (-20dB = 20*log(A)) 과 같습니다 .
버터워스 필터 주파수 응답에 대한 일반 방정식에 값을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
n은 항상 정수(정수)여야 하므로 2.42에서 다음으로 가장 높은 값은 n = 3이므로 " 3 차 필터가 필요합니다 . " 3차 버터워스 필터 , 즉 2차 필터 단계를 생성하려면 1차 필터 스테이지와 함께 계단식으로 연결되어야 합니다.
위의 정규화된 저역 통과 버터워스 다항식 표에서 3차 필터의 계수는 (1+s)(1+s+s 2 ) 로 주어지며 이는 3-A = 1 또는 A = 의 이득을 제공합니다. 2 . A = 1 + (Rf/R1) 이므로 피드백 저항 Rf 와 저항 R1 모두에 대한 값을 선택하면 다음과 같이 각각 1kΩ 및 1kΩ 값이 제공됩니다 . ( 1kΩ/1kΩ ) + 1 = 2 .
컷오프 코너 주파수인 -3dB 지점( Ω o )은 공식 1/CR을 사용하여 찾을 수 있지만 통과 대역 주파수 Ω p 에서 Ω o를 찾아야 합니다 .
따라서 차단 코너 주파수는 284rads/s 또는 45.2Hz(284/2π)로 제공되며 친숙한 공식 1/CR을 사용하여 3차 회로의 저항기와 커패시터 값을 찾을 수 있습니다.
0.352uF에 가장 가까운 권장 값은 0.36uF 또는 360nF 입니다 .
3차 버터워스 저역 통과 필터
마지막으로 차단 코너 주파수 가 284 rads/s 또는 45.2Hz이고 최대 통과 대역 이득이 0.5dB이고 최소 정지 대역 이득이 20dB인 3차 저역 통과 버터워스 필터 회로는 다음과 같이 구성됩니다.
따라서 코너 주파수가 45.2Hz인 3차 버터워스 저역 통과 필터의 경우 C = 360nF 및 R = 10kΩ입니다.
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