RC 통합자
RC 적분기는 수학적 적분 과정에 해당하는 출력 신호를 생성하는 직렬 연결된 RC 네트워크입니다.
패시브 RC 적분기 회로의 경우 입력은 저항에 연결되고 출력 전압은 RC 미분 회로 와 정반대인 커패시터에서 가져옵니다 . 커패시터는 입력이 높을 때 충전되고 입력이 낮을 때 방전됩니다.
전자공학에서 기본 직렬 연결 저항기-커패시터(RC) 회로는 기본 충전/방전 회로부터 고차 필터 회로까지 다양한 용도와 응용 분야를 가지고 있습니다. 이 두 개의 구성 요소로 구성된 수동 RC 회로는 충분히 단순해 보일 수 있지만 적용된 입력 신호의 유형과 주파수에 따라 이 기본 RC 회로의 동작과 응답이 매우 다를 수 있습니다.
패시브 RC 네트워크는 커패시터와 직렬로 연결된 저항에 지나지 않습니다. 즉, 플레이트 전체의 주파수가 증가함에 따라 감소하는 주파수 종속 리액턴스를 갖는 커패시터와 직렬로 연결된 고정 저항입니다. 따라서 낮은 주파수에서 커패시터의 리액턴스 Xc는 높은 반면 높은 주파수에서는 Xc = 1/(2πfC)의 표준 용량성 리액턴스 공식으로 인해 리액턴스가 낮습니다. 이 효과는 수동 저역 통과 필터 에 대한 튜토리얼에서 확인했습니다. .
입력 신호가 사인파인 경우 rc 적분기는 RC 시간 상수(tau, τ ) 에 해당하는 차단 또는 코너 주파수를 사용하여 차단점 위에서 간단한 저역 통과 필터(LPF) 역할을 합니다. 시리즈 네트워크. 따라서 순수 사인파를 공급할 때 RC 적분기는 차단 주파수 지점 이상으로 출력을 줄이는 수동 저역 통과 필터 역할을 합니다.
이전에 살펴본 것처럼 RC 시상수는 시간에 대한 저항과 정전용량 사이의 관계를 반영합니다. 시간은 초 단위로 제공되며 저항 R 및 정전용량 C 에 정비례합니다 .
따라서 충전 또는 방전 속도는 RC 시상수 τ = RC 에 따라 달라집니다 . 아래 회로를 고려하십시오.
RC 통합자
RC 적분기 회로의 경우 입력 신호는 커패시터에 걸쳐 출력을 사용하여 저항에 적용되고 V OUT 은 VC 와 같습니다 . 커패시터는 주파수 의존형 요소이므로 플레이트 전체에 형성되는 전하량은 전류의 시간 영역 적분과 같습니다. 즉, 커패시터는 순간적으로 충전할 수 없고 기하급수적으로만 충전할 수 있으므로 커패시터가 완전히 충전되는 데 일정 시간이 걸립니다.
따라서 커패시터 충전 전류는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
위의 i C = C(dVc/dt) 기본 방정식 은 시간에 대한 전하의 순간 변화율 Q로 표현될 수도 있으며 다음 표준 방정식을 제공합니다. i C = dQ/dt 여기서 전하 Q 는 = C x VC , 즉 정전용량과 전압을 곱한 값입니다.
커패시터가 충전(또는 방전)되는 속도는 회로의 시상수를 제공하는 저항 및 커패시턴스의 양에 정비례합니다. 따라서 RC 적분기 회로의 시상수는 R과 C의 곱과 같은 시간 간격입니다.
커패시턴스는 전하가 있는 Q/Vc와 동일하므로 Q는 시간(t)에 따른 전류(i)의 흐름, 즉 쿨롱 단위의 ixt의 곱이며 옴의 법칙에 따라 전압(V)은 동일하다는 것을 알 수 있습니다. ix R에 대해 이를 RC 시간 상수에 대한 방정식으로 대체하면 다음이 제공됩니다.
RC 시간 상수
그런 다음 i와 R이 모두 상쇄됨에 따라 RC 적분기 회로의 시간 상수가 초 단위의 시간 차원을 가지며 그리스 문자 타우 τ가 주어지는 것을 나타내는 T만 남게 된다는 것을 알 수 있습니다 .
이 시정수는 커패시터가 최대 전압의 최대 63.2%까지 충전하거나 최대 전압의 36.8%까지 방전하는 데 필요한 시간(초)을 반영합니다.
커패시터 전압
이전에 RC 적분기의 경우 출력은 커패시터 양단의 전압과 동일하다고 말했습니다. 즉, V OUT 은 VC 와 같습니다 . 이 전압은 전하량에 비례하며, Q는 Q = V x C로 주어진 커패시터에 저장됩니다.
결과적으로 출력 전압은 R 및 C 값과 그에 따른 네트워크의 시상수에 따라 적분량이 달라지는 입력 전압과 적분됩니다.
위에서 커패시터 전류는 시간에 따른 전하 변화율 Q로 표현될 수 있음을 확인했습니다. 따라서 미분 계산의 기본 규칙에 따르면 시간에 대한 Q의 도함수는 dQ/dt이고 i = dQ/dt이므로 다음과 같은 관계를 얻습니다.
Q = ∫idt (어떤 순간에 커패시터의 전하 Q)
입력이 저항에 연결되어 있으므로 동일한 전류, i는 저항과 커패시터(i R = i C )를 모두 통과해야 저항에 걸쳐 VR 전압 강하를 생성하므로 전류 (i)는 이 계열을 통해 흐릅니다. RC 네트워크는 다음과 같이 주어진다:
그러므로:
i = V IN /R이므로 V OUT을 시간 함수로 풀기 위해 대체하고 재배열하면 다음이 제공됩니다.
즉, 커패시터 양단의 전압인 RC 적분기 회로의 출력은 입력 전압의 시간 적분, 1/RC 상수로 가중된 V IN 과 같습니다. 여기서 RC는 시간 상수 τ를 나타냅니다 .
그런 다음 커패시터의 초기 전하가 0, 즉 V OUT = 0이고 입력 전압 V IN 이 일정하다고 가정하면 출력 전압 V OUT 은 시간 영역에서 다음과 같이 표현됩니다.
RC 적분기 공식
따라서 RC 적분기 회로는 출력 전압 V OUT 이 입력 전압의 적분에 비례 하는 회로 이며, 이를 염두에 두고 단계 전압 형태로 단일 포지티브 펄스를 인가할 때 어떤 일이 발생하는지 살펴보겠습니다. RC 적분기 회로.
단일 펄스 RC 적분기
단일 단계 전압 펄스가 RC 적분기의 입력에 적용되면 커패시터는 펄스에 응답하여 저항기를 통해 충전됩니다. 그러나 커패시터 양단의 전압은 순간적으로 변할 수 없지만 RC 시상수 τ = RC에 의해 결정되는 속도로 커패시터가 충전됨에 따라 기하급수적으로 증가하므로 출력은 즉각적이지 않습니다.
이제 우리는 커패시터가 충전되거나 방전되는 속도가 회로의 RC 시간 상수에 의해 결정된다는 것을 알고 있습니다. 이상적인 스텝 전압 펄스가 적용되는 경우(즉, 앞쪽 가장자리와 뒤쪽 가장자리가 순간적으로 간주되는 경우) 커패시터 양단의 전압은 충전 시 증가하고 방전 시 감소하며 다음과 같은 비율로 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 감소합니다.
커패시터 충전:
커패시터 방전:
따라서 커패시터 전압을 1V(1V)로 가정하면 다음 표와 같이 각 개별 R 시간 상수에 대한 커패시터의 충전 또는 방전 비율을 플롯할 수 있습니다.
| 시정 수 |
커패시터 충전 |
커패시터 방전 |
| τ | % 충전됨 | 방전된 % |
| 0.5 | 39.4% | 60.6% |
| 0.7 | 50% | 50% |
| 1 | 63.2% | 36.7% |
| 2 | 86.4% | 13.5% |
| 삼 | 95.0% | 4.9% |
| 4 | 98.1% | 1.8% |
| 5 | 99.3% | 0.67% |
5개 이상의 시상수에서는 커패시터가 100% 완전히 충전되거나 완전히 방전된 것으로 간주됩니다.
이제 그림과 같이 100kΩ 저항과 1uF 커패시터로 구성된 RC 적분기 회로가 있다고 가정해 보겠습니다.
RC 적분기 회로 예
따라서 RC 적분기 회로의 시상수 τ는 다음과 같이 주어진다.
RC = 100kΩ x 1uF = 100ms.
두 개의 시간 상수(200mS) 기간 동안 입력에 스텝 전압 펄스를 적용하면 위 표에서 커패시터가 완전히 충전된 값의 86.4%까지 충전되는 것을 볼 수 있습니다.
이 펄스의 진폭이 10V인 경우 입력 펄스가 0으로 돌아갈 때 커패시터가 저항기를 통해 소스로 다시 방전되기 전 이는 8.64V와 동일합니다.
커패시터가 다음 입력 펄스 도착 전 500mS 또는 5개의 시간 상수 내에 완전히 방전될 수 있다고 가정하면 충전 및 방전 곡선의 그래프는 다음과 같습니다.
RC 적분기 충전/방전 곡선
커패시터는 10V 입력이 아닌 초기 값 8.64V(2개의 시상수)에서 방전됩니다.
그런 다음 RC 시간 상수가 고정되어 있으므로 입력 펄스 폭의 변화가 RC 적분기 회로의 출력에 영향을 미친다는 것을 알 수 있습니다. 펄스 폭이 증가하고 5RC보다 크거나 같으면 출력 전압이 입력과 동일한 값에 도달하므로 출력 펄스의 모양은 입력의 모양과 유사합니다.
그러나 펄스 폭이 5RC 아래로 감소하면 커패시터는 부분적으로만 충전되고 최대 입력 전압에 도달하지 못하여 커패시터가 많이 충전할 수 없으므로 출력 전압이 입력의 적분에 비례하므로 출력 전압이 더 작아집니다. 전압.
따라서 입력 펄스가 하나의 시상수, 즉 1RC라고 가정하면 커패시터는 0V와 10V 사이가 아니라 변경 시 커패시터 양단 전압의 63.2%와 38.7% 사이에서 충전 및 방전됩니다. 이 값은 RC 시간 상수에 의해 결정됩니다.
고정 RC 적분기 시간 상수
따라서 연속 펄스 입력의 경우 입력 주기 시간과 회로의 RC 시간 상수 사이의 올바른 관계, 입력 통합이 발생하여 일종의 램프 업과 램프 다운 출력이 생성됩니다.
그러나 회로가 적분기로서 올바르게 기능하려면 RC 시상수의 값이 입력 주기 시간에 비해 커야 합니다. 즉 RC ≫ T이며 일반적으로 10배 더 큽니다.
이는 출력 전압의 크기(1/RC에 비례)가 고전압과 저전압 사이에서 매우 작아서 출력 전압을 심각하게 감쇠시킨다는 것을 의미합니다. 이는 커패시터가 펄스 간 충전 및 방전 시간이 훨씬 짧지만 평균 출력 DC 전압은 입력 크기의 절반으로 증가하고 위의 펄스 예에서는 5V(10/2)가 되기 때문입니다.
사인파 발생기로서의 RC 적분기
위에서 RC 적분기 회로는 펄스 입력을 적용하여 커패시터의 충전 및 방전 특성으로 인해 램프 업 및 램프 다운 삼각파 출력을 발생시켜 적분 작업을 수행할 수 있음을 확인했습니다. 하지만 이 과정을 반대로 하고 입력에 삼각파를 적용하면 어떻게 될까요? 펄스 또는 구형파 출력을 얻게 될까요?
RC 적분기 회로에 대한 입력 신호가 펄스 형태의 입력인 경우 출력은 삼각파입니다. 그러나 삼각파를 적용하면 램프 신호의 시간에 따른 적분으로 인해 출력이 사인파가 됩니다.
정현파를 생성하는 방법에는 여러 가지가 있지만 사인파 유형의 파형을 전자적으로 생성하는 간단하고 저렴한 방법 중 하나는 그림과 같이 직렬로 연결된 한 쌍의 수동 RC 적분기 회로를 사용하는 것입니다.
사인파 RC 적분기
여기서 첫 번째 RC 적분기는 원래 펄스 모양의 입력을 두 번째 RC 적분기의 입력이 되는 램프 업 및 램프 다운 삼각 파형으로 변환합니다. 이 두 번째 RC 적분기 회로는 통합 정도에 영향을 미치는 RC 시간 상수를 사용하여 원래 입력 신호에 대해 이중 적분을 효과적으로 수행하므로 삼각형 파형의 점을 반올림하여 사인파로 변환합니다.
램프의 통합은 사인 함수(기본적으로 반올림 삼각 파형)를 생성하므로 헤르츠 단위의 주기 주파수는 원래 펄스의 주기 T와 동일합니다. 또한 이 신호를 반전시키고 입력 신호가 사인파인 경우 회로는 적분기로 작동하지 않고 사인파가 있는 단순한 저역 통과 필터(LPF)로 작동하므로 순수한 파형이 되어도 모양이 변하지 않습니다. 진폭만 영향을 받습니다.
튜토리얼 요약
여기서 RC 적분기는 기본적으로 스텝 전압 펄스가 입력에 적용될 때 입력의 적분에 비례하는 출력을 생성하는 직렬 RC 저역 통과 필터 회로라는 것을 확인했습니다. 이는 다음과 같은 표준 방정식을 생성합니다. Vo = ∫Vi dt 여기서 Vi는 적분기에 공급되는 신호이고 Vo는 적분된 출력 신호입니다.
입력 단계 함수를 통합하면 원래 펄스 입력보다 진폭이 작은 삼각형 램프 함수와 유사한 출력이 생성되며 감쇠량은 시간 상수에 의해 결정됩니다. 따라서 출력 파형의 모양은 회로의 시정수와 입력 펄스의 주파수(주기) 사이의 관계에 따라 달라집니다.
RC 적분기 시상수는 항상 입력의 주기 T와 비교되므로 긴 RC 시상수는 커패시터가 완전히 충전 또는 방전하는 데 걸리는 시간이 짧기 때문에 입력 신호에 비해 진폭이 낮은 삼각파 형태를 생성합니다. 짧은 시간 상수는 커패시터가 충전 및 방전하는 데 더 많은 시간을 허용하여 보다 일반적인 둥근 모양을 생성합니다.
두 개의 RC 적분기 회로를 병렬로 함께 연결하면 입력 펄스에 이중 통합 효과가 있습니다. 이 이중 적분의 결과는 첫 번째 적분기 회로가 스텝 전압 펄스를 삼각 파형으로 변환하고 두 번째 적분기 회로가 삼각 파형의 점을 반올림하여 삼각 파형 모양을 변환하여 크게 감소된 사인파 출력 파형을 생성하는 것입니다. 진폭.