타우 – 시간 상수

 

타우 – 시간 상수

Tau는 단계 변화 입력 조건을 받을 때 하나의 정상 상태 조건에서 다른 정상 상태 조건으로 변경하는 데 걸리는 RC 회로의 시상수입니다.

기호 τ 인 Tau는 회로의 시상수 를 시간의 함수로 나타내기 위해 전기 및 전자 계산에 사용되는 그리스 문자입니다 . 그러나 회로의 시상수 및 과도 응답은 무엇을 의미합니까?

전기 회로와 전자 회로 모두 항상 안정적이거나 안정된 상태에 있을 수는 없지만 전압 레벨이나 입력 조건이 변경되는 형태로 급격한 단계 변화를 겪을 수 있습니다. 예를 들어 입력 스위치나 센서를 열거나 닫는 것입니다.

그러나 전압이나 상태 변화가 발생할 때마다 회로는 변화에 즉각적으로 반응하지 않을 수 있으며, 회로 내에 커패시터, 인덕터와 같은 반응성 부품이 존재하는 경우 아무리 작아도 시간이 걸릴 수 있습니다.

하나의 안정적인 상태에서 다른 상태로의 상태 변화는 일반적으로 그 자체가 기하급수적으로 값이 되는 회로의 시상수에 의해 결정되는 속도로 발생합니다. 그런 다음 회로의 시상수는 회로 전류 및 전압의 과도 응답이 설정된 시간 동안 어떻게 변화하는지 정의합니다.

 

우리는 이 튜토리얼에서 정상 상태 DC 전압이 적용될 때 커패시터가 개방 회로로 작동하고 인덕터가 단락 회로로 작동하며 저항이 전류 제한 장치로 작동한다는 것을 확인했습니다.

커패시터 양단의 전압과 인덕터를 통과하는 전류가 순간적으로 변할 수 없다면 단계 변화 조건이 적용될 때 과도 응답은 어떻게 될까요?

그러나 용량성 회로에 어떤 형태의 과도 분석을 적용하기 전에 먼저 아래와 같이 일반 저항성 회로의 VI 특성을 상기해 보겠습니다.

저항 회로

 

스위치가 S 2 위치에 있으면 10Ω 저항기가 효과적으로 단락되어 10V 공급 전압(V)에서 연결이 끊어집니다. 결과적으로 저항을 통해 전류가 0으로 흐르므로 I R = 0입니다. 그러나 시간 t = 0에서 스위치가 S 1 위치로 이동하면 10V의 스텝 전압이 10Ω 저항에 직접 적용되어 폐쇄 회로 주위에 흐르는 1암페어(I = V/R)의 전류.

저항기는 고정된 비유도 값이므로 스위치가 S1 위치로 이동하자마자 전류는 몇 분의 1초 내에 즉시 0에서 1암페어로 변경 됩니다 . 마찬가지로, 스위치가 다시 S2 위치 로 돌아 가면 공급 전압(V)이 제거되어 위 그래프에 표시된 것처럼 회로 전류가 즉시 다시 0으로 떨어집니다.

그러면 저항성 회로의 경우 전기적 상태의 변화는 거의 즉각적입니다. 이 변화에 저항할 것이 없기 때문입니다. 따라서 저항기는 회로 주위의 전류 흐름을 옴의 법칙에 의해 결정된 값, 즉 V/R로 제한하므로 이와 관련된 시간 상수 또는 과도 응답이 없습니다.

RC 회로는 저항과 커패시터를 포함하는 전기 회로이므로 커패시터와 직렬로 연결된 저항의 과도 응답을 살펴보겠습니다. 이전과 같이 입력 단계 전압이 변경될 때 이 조합의 VI 특성은 무엇입니까?

RC 회로의 시정수

우리는 위에서 저항이 적용된 전압의 변화에 ​​즉각적으로 반응한다는 것을 보았습니다. 그러나 저항기는 에너지를 저장하지 않고 대신 열의 형태로 에너지를 발산하는 수동 선형 장치입니다. 즉, 뜨거워진다.

그러나 커패시터는 정전기 전하(Q 쿨롱)의 형태로 내부에 전기 에너지를 저장할 수 있는 유전체 절연 재료로 분리된 두 개의 전기 전도판(전극)으로 구성됩니다. 즉, 커패시터는 전하를 저장합니다.

결과적으로 저항과 달리 커패시터는인가된 전압의 급격하거나 단계적인 변화에 즉각적으로 반응할 수 없으므로 전압이 처음 적용된 직후 회로 전류와 커패시터 양단의 전압이 상태를 변경하는 데 항상 짧은 시간이 걸립니다. . 즉, 커패시터가 전기장 내에 저장된 에너지의 양을 변경하여 값이 증가하거나 감소하는 데 필요한 특정 시간이 필요합니다.

회로가 응답하는 시간은 R x C 의 배수로 표현됩니다 . 즉, 초(초) 단위로 제공되는 "옴 x 패럿"의 곱입니다. 커패시터를 통과하는 전류는 다음과 같이 주어진다: i C = C(dv/dt) . 여기서, dv는 전압 변화를 나타내고 dt는 시간 변화를 나타냅니다.

 

아래의 간단한 저항-커패시터 RC 회로를 고려하십시오.

저항-커패시터(RC) 회로

 

스위치가 잠시 S 2 위치에 있으면 저항기-커패시터 조합이 단락되어 공급 전압 V S 에 연결되지 않습니다 . 결과적으로 회로 주위에는 0 전류가 흐르므로 I = 0 및 VC = 0 입니다 .

시간 t= 0 에서 스위치가 S1 위치로 이동하면 RC 회로에 스텝 전압(V)이 인가됩니다. 이 순간, 완전히 방전된 커패시터는 스위치가 S1 위치로 닫히는 순간 dv/dt 조건의 급격한 변화 로 인해 단락 처럼 동작 합니다 .

이러한 변화로 인해 회로 전류는 이전과 마찬가지로 회로의 저항에 의해서만 제한되는 값으로 증가합니다. 따라서 스위치 S 1이 t = 0에서 처음 닫힐 때, 닫힌 회로 주위에 흐르는 전류는 VR = I*R 및 VC = 0 이므로 VR /R 암페어 와 거의 같습니다 .

스위치가 S1 위치로 이동하는 동시에 전류 흐름과 동시에 방전된 커패시터는 전하를 플레이트에 저장하려고 시도하면서 충전을 시작합니다 . 결과적으로 커패시터 양단의 전압 VC는 RC 조합의 시상수 tau에 의해 결정되는 비율로 회로 전류가 감소하기 시작하는 동안 점진적으로 증가 하기 시작 합니다 .

따라서 t = 0 에서 시작하여 커패시터 플레이트 양단의 전압 증가(V C ) 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

양쪽을 통합하면 다음이 제공됩니다.

따라서 커패시터가 플레이트에 전하를 저장하려고 시도할 때 커패시터 양단의 전압이 기하급수적으로 자연적으로 증가하는 것은 다음과 같습니다.

어디:

• V C 는 커패시터 양단의 전압입니다.
• V 는 공급 전압이다
• e 는 자연 로그의 기초입니다.
• t 는 스위치가 닫힌 이후의 시간입니다.
• RC 는 RC 회로의 시상수 tau 입니다.

다음 표에서는 1V의 공급 전압과 1의 RC 시간 상수에 대한 정규화된 값을 가정하여 시간에 따른 커패시터 양단의 전압 증가율을 기하급수적으로 표시할 수 있습니다.

시간 경과에 따른 커패시터 전압 증가

시간(초)	0.5	0.7	1	2	삼	4	5	6
전압(V C )	0.393V	0.503V	0.632V	0.864V	0.950V	0.981V	0.993V	0.997V

분명히 위 표에서 V C = V(1 – e -t/τ ) 의 값은 시간이 지남에 따라 t = 0에서 t = 6초(6T)까지 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 커패시터는 기하급수적으로 증가하는 함수입니다. 왜냐하면 시간(t)이 증가함에 따라 항 e -t/τ가 점점 더 작아지고, 따라서 커패시터 양단의 전압, VC는 변화 를 주도하는 공급 전압의 전압 쪽으로 커지기 때문입니다.

따라서 시간 t = 0에서 함수 값은 0이지만 시간(t)이 계속해서 π를 향해 증가함에 따라 1 – e -1 일 때 t = RC가 되는 지점은 0.632 또는 63.2%(0.632) 의 값을 생성합니다. *100%) 최종 정상 상태 값.

따라서 기하급수적으로 증가하는 함수의 경우 시간 상수 Tau (τ)는 함수가 시간 t = 0에서 시작하는 속도로 최종 정상 상태 값의 63.2%에 도달하는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다. 따라서 모든 시간 간격 tau의 경우( τ ) 커패시터 양단의 전압은 이전 값의 e -1 만큼 증가 하고 시상수 tau가 작을수록 변화 속도가 빨라집니다.

시간에 따른 커패시터 양단의 전압 변화를 다음과 같이 그래픽으로 표시할 수 있습니다.

시간이 지남에 따라 기하급수적인 전압 증가

 

그러면 스텝 입력에 대한 커패시터의 과도 응답이 즉각적이거나 선형적이지 않고 RC 회로의 시정수에 의해 결정되는 속도로 기하급수적으로 증가하며 하나의 시상수가 1배와 같다는 것을 알 수 있습니다. e -1 = 0.6321 .

Tau 자체는 커패시터가 완전히 충전되는 데 걸리는 시간을 설명하지 않으며 이론적으로 기하급수적으로 증가하는 과도 곡선으로 인해 커패시터는 100% 완전히 충전되지 않습니다.

그러나 초기 조건 변화가 발생한 시점부터 5개 시간 상수, 즉 ≥ 5τ 또는 5RC에 해당하는 시간이 지나면 지수 증가는 최대값의 1% 미만으로 느려집니다. 대부분의 실제 응용에서는 시간이 지나도 더 이상 변화가 일어나지 않는 최종 상태 또는 정상 상태에 도달했다고 말할 수 있습니다. 즉, 5T에서 커패시터는 "완전히 충전"됩니다.

타우 예시 No1

RC 직렬 회로의 저항은 50Ω이고 정전 용량은 160μF입니다. 회로의 시상수, 타우(tau)는 얼마이며, 커패시터가 완전히 충전되는 데 걸리는 시간은 얼마입니까?

1. 시간 상수, τ = RC. 그러므로:

τ = RC = 50 x 160 x 10 -6 = 8ms

2. 완전히 충전되는 데 걸리는 시간:

5T = 5τ = 5RC = 5 x 50 x 160 x 10 -6 = 40ms 또는 0.04s

타우 예시 No2

회로는 40Ω의 저항과 350uF의 정전용량이 직렬로 연결된 것으로 구성됩니다. 커패시터가 완전히 방전된 경우, 충전이 시작된 후 커패시터 플레이트 양단의 전압이 최종 정상 상태 값의 45%에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마입니까?

주어진 데이터: R = 40Ω, C = 350uF, t는 커패시터 전압이 최종 값의 45%, 즉 0.45V가 되는 시간입니다.

 

그런 다음 시간 상수 tau가 14ms이고 5T가 70ms일 때 커패시터 양단의 전압이 5T 정상 상태 조건의 45%에 도달하는 데 8.37밀리초가 걸립니다.

이제 우리는 직렬 RC 회로의 시상수는 한 시상수(1T)의 끝에서 최대값(V)의 0.632V(보통 63.2%)에 해당하는 시간 간격이라는 것을 이해하게 되기를 바랍니다. 또한 시상수에 대한 기호는 τ ( 그리스 문자 tau)이며 τ = RC 입니다. 여기서 R은 옴 단위, C는 패럿 단위, τ 는 초 단위입니다.

그러나 이미 완전히 충전된(V C >5T) 커패시터는 어떻습니까? 0V로 다시 방전될 때 커패시터의 VI 특성은 어떻게 되며 커패시터 전압의 감쇠는 동일한 지수 곡선 모양을 따르게 됩니다.

RC 과도 방전 곡선

완전히 충전된 커패시터의 방전은 충전 과정과 유사합니다. 원래 커패시터를 충전하는 데 사용된 DC 전원 공급 장치가 분리되고 그림과 같이 단락 회로로 교체됩니다.

 

해당 스위치(S)의 초기 조건이 "개방"이고 커패시터가 완전히 충전되었다고 가정합니다(V C >5T). 시간 t = 0에서 스위치(S)가 닫히면 커패시터는 저항 값에 따라 방전에 필요한 시간만큼 저항을 통해 방전되기 시작합니다. 초기에 VC = VR = V이므로 전압 감쇠 는 다음과 같이 주어집니다.

전압 방정식의 지수적 감쇠

 

 

어디; V (t) 는 커패시터 플레이트 양단의 전압이고, VC는 감쇠 가 시작되기 전의 초기 커패시터 전압 값입니다.

이전에는 지수 함수가 전압 증가를 위한 것이었습니다. 기하급수적으로 감소하는 함수의 경우 전압이 일정한 속도로 0V에 도달하는 데 필요한 시간은 여전히 ​​RC 시간 상수에 따라 달라집니다. 따라서 시상수는 "붕괴율"의 척도입니다.

따라서 기하급수적으로 감쇠하는 함수의 경우 시간 상수 타우(τ)는 감쇠가 시간 t = 0에서 시작될 때 감쇠 전압이 최종 정상 상태 값의 약 36.8%에 도달하는 데 필요한 시간으로도 정의됩니다. 따라서 τ 는 하나의 시상수, 즉 τ = RC이고 RC 회로는 t = 0에서 완전히 충전된 정상 상태 조건에 있었습니다. 그러면 다음과 같습니다.

 

따라서 시간 t = 0에서 함수의 값은 최대값에 있지만 시간(t)이 π 쪽으로 이동함에 따라 e -1이 0.368 또는 36.8%(0.368*100) 의 값을 생성할 때 t = RC가 되는 지점이 됩니다. 0V(완전 방전)인 최종 정상 상태 값의 %)입니다.

다음 표에서는 1V의 공급 전압과 1의 RC 시간 상수에 대한 정규화된 값을 사용하여 시간에 따른 커패시터 양단의 전압 감쇠의 지수적 비율을 다음 표에 표시할 수 있습니다.

시간 경과에 따른 커패시터 전압 감쇠

시간(초)	0.5	0.7	1	2	삼	4	5	6
전압( Vt )	0.607VC _	0.497V 씨	0.368VC _	0.135VC _	0.049VC _	0.018V 씨	0.007VC _	0.002VC _

여기서 주목해야 할 점 하나. t = 0의 초기 값에서 τ 까지 직렬 RC 회로의 시간 상수 tau는 커패시터가 충전 중이든 방전 중이든 항상 63.2%입니다. 기하급수적 성장의 경우 커패시터가 완전히 방전되었으므로 초기 조건은 0V(0V)입니다.

따라서 전압은 한 시간 상수 1T에서 V MAX 의 63.2%까지 기하급수적으로 증가합니다 . 그러나 1T의 커패시터 전압은 5T의 최종 정상 상태 값에서 36.8% 떨어져 있다고 생각할 수도 있습니다. 완전히 충전되었습니다.

기하급수적 붕괴에 대해서도 같은 생각이 적용됩니다. 완전히 충전된 커패시터의 경우 초기 정상 상태 조건은 VC (max) 이므로 커패시터는 5T 이후 최종 정상 상태 조건인 0V(0V)의 36.8%까지 방전됩니다. 그러나 다시 한번, 시간 1T에서 커패시터 양단의 전압은 커패시터가 t = 0에서 완전히 충전되었을 때 초기 시작보다 63.2% 낮다고 생각할 수도 있습니다.

그러면 초기 시작 조건에서 1T까지의 한 시상수 1T의 값은 항상 0.632V, 즉 최종 정상 상태 조건의 63.2%가 됩니다. 마찬가지로 1T에서 커패시터 전압은 항상 0.368V, 즉 5T 이후 VC (최대) 에서 완전히 충전되거나 0V에서 완전히 방전되는 최종 정상 상태에서 36.8% 떨어져 있습니다 .

시간에 따른 전압 감쇠를 다음과 같이 그래픽으로 표시할 수 있습니다.

시간에 따른 지수적 전압 감쇠

 

시간에 따른 전압 감쇠율은 RC 시간 상수 tau의 값에 크게 좌우됩니다.

타우 예시 No3

RC 직렬 회로의 시상수 tau는 5ms입니다. 커패시터가 100V로 완전히 충전된 경우 다음을 계산합니다. 1) 방전이 시작된 후 2ms, 8ms 및 20ms 시점의 커패시터 양단 전압, 2) 커패시터 전압이 56V, 32V 및 10V로 감소하는 경과 시간.

방전 커패시터의 전압은 다음과 같이 주어진다.

VC ( t) = VC ×  e –t/RC   볼트

RC 시간 상수는 5ms로 주어지므로 1/RC = 200 입니다 . VC = 100V.

1a). 2ms 후 커패시터 전압

VC (0.002) = 100e –200t  = 100e –0.4 =  100 × 0.67 = 67.0V

1b). 8ms 후 커패시터 전압

VC (0.008) = 100e –200t  = 100e –1.6 =  100 × 0.202 = 20.2V

1c). 20ms 후 커패시터 전압

VC ( 0.02) = 100e –200t  = 100e –4  = 100 × 0.018 = 1.8V

 

t = 0부터 지속되는 커패시터 전압(V C )

2a). VC (t) = 56V 일 때 경과 시간(t 1 )

56 = 100e -200t , 따라서: -200t 1  = ln(56/100) = –0.5798

따라서: t 1  = –0.5798 ¼ –200 = 2.9ms

2b). VC (t) = 32V 일 때 경과 시간(t 2 )

32 = 100e -200t , 따라서: -200t 2  = ln(32/100) = –1.1394

따라서: t 2  = –1.1394 ¼ –200 = 5.7ms

2c). VC (t) = 10V 일 때 경과 시간(t 3 )

10 = 100e -200t , 따라서: -200t 3  = ln(10/100) = –2.3026

따라서: t 3  = –2.3026 ¼ –200 = 11.5ms

Tau 시상수 요약

우리는 시간 상수 , Tau , 기호 τ 에 대한 이 튜토리얼에서 RC 회로의 과도 응답이 단계 변경 입력 조건을 받을 때 하나의 정상 상태 조건에서 다른 정상 상태 조건으로 변경하는 데 걸리는 시간임을 확인했습니다 .

커패시터가 초기 제로 전압 상태에서 최종 정상 상태 전압(V)까지 충전될 때 지속 시간은 다음과 같이 정의됩니다. τ = RC . 이는 R과 C의 곱입니다. 이는 초 단위로 측정된 RC 시간 상수를 사용하여 VC 에 대해 기하급수적으로 증가하는 함수를 생성하며 , 시간 상수가 작을수록 전압 변화 속도는 더 빨라집니다.

우리는 또한 기하급수적으로 증가하는 함수의 경우 한 시간 상수 이후의 값인 1T가 최종 정상 상태 값의 63.2%와 동일하다는 것을 확인했습니다. 즉, 기하급수적으로 증가하는 함수의 경우 전압이 5T 이후에 발생하는 최종 정상 상태 값에 도달하는 데 필요한 시간입니다.

시간 t = τ 에서 기하급수적으로 증가하는 함수에 대한 V(t) 값은 다음과 같이 제공됩니다.

V(t) = V( 1 – e –1 ) = 0.632V

마찬가지로, 지수적으로 감소하는 함수의 경우 한 시간 상수 이후의 값인 1T는 최종 정상 상태 값의 36.8%입니다. 즉, 지수적으로 감소하는 함수의 경우 전압이 0 값에 도달하는 데 필요한 시간입니다.

시간 t = τ 에서 지수적으로 감소하는 함수에 대한 V(t) 값은 다음과 같이 제공됩니다.

V(t) = V(e –1 ) = 0.368V

어느 쪽이든, t = 0에서 τ 까지는 항상 시간 간격의 63.2%가 되고, 1T에서 5T까지는 항상 시간 간격의 36.8%가 되어 기하급수적으로 증가하거나 감소합니다.