시리즈 RLC 회로 분석

시리즈 RLC 회로 분석

직렬 RLC 회로는 교류 전원에 걸쳐 직렬로 연결된 저항, 커패시턴스 및 인덕턴스로 구성됩니다.

지금까지 우리는 저항 , 인덕턴스 및 커패시턴스 의 세 가지 기본 수동 구성 요소가 정현파 교류 전압에 연결될 때 서로 매우 다른 위상 관계를 갖는다는 것을 확인했습니다. 그러나 이러한 수동 소자를 함께 연결하여 적용된 전압 공급 장치와 직렬로 연결된 직렬 RLC 회로를 형성할 수 있습니다.

순수 저항 저항기에서 전압 파형은 전류와 "동위상"입니다. 순수 인덕턴스에서 전압 파형은 전류를 90o만큼 "리드"하여 다음 과 같은 표현을 제공합니다. ELI. 순수 커패시턴스에서 전압 파형은 전류보다 90o만큼 "지연"되어 다음 과 같은 표현을 제공합니다. ICE.

이 위상차 Φ는 사용되는 구성 요소의 무효 값에 따라 달라지며 이제 회로 요소가 저항성인 경우 리액턴스( X )가 0이고 회로 요소가 유도성인 경우 양수이고 용량성인 경우 음수라는 것을 알고 있기를 바랍니다. 결과 임피던스를 다음과 같이 제공합니다.

요소 임피던스

회로소자	저항, (R)	리액턴스, (X)	임피던스, (Z)
저항기	아르 자형	0
인덕터	0	ΩL
콘덴서	0

각 수동 요소를 개별적으로 분석하는 대신 세 가지 요소를 모두 직렬 RLC 회로로 결합할 수 있습니다. 직렬 RLC 회로 의 분석은 이전에 살펴본 이중 직렬 R L 및 RC 회로의 분석과 동일합니다. 단 , 이번에는 전체 회로를 찾기 위해 X L 및 X C 의 크기를 모두 고려해야 합니다. 유도 저항. 직렬 RLC 회로는 인덕턴스 L 과 커패시턴스 C 라는 두 개의 에너지 저장 요소를 포함하므로 2차 회로로 분류됩니다 . 아래의 RLC 회로를 고려하십시오.

 

시리즈 RLC 회로

 

위의 직렬 RLC 회로는 단일 루프를 가지며 루프를 통해 흐르는 순간 전류는 각 회로 요소에 대해 동일합니다. 유도성 및 용량성 리액턴스의 X L 및 X C는 공급 주파수의 함수이므로 직렬 RLC 회로의 정현파 응답은 주파수 f 에 따라 달라집니다 . 그러면 R , L 및 C 요소 의 각 회로 요소에 걸친 개별 전압 강하는 다음과 같이 정의된 것처럼 서로 "위상이 다릅니다".

• i (t) = I 최대 sin(Ωt)
•   순수 저항기의 순간 전압 VR 은 전류와 "동위상"입니다.
•   순수 인덕터 양단의 순간 전압 V L은 전류를 90 ° 만큼 "리드"합니다.
•   순수 커패시터 양단의 순간 전압 V C는 전류보다 90 ° 만큼 "지연"됩니다.
•   따라서 V L 과 V C 는 180o "위상이 다르고 " 서로 반대입니다.

위의 직렬 RLC 회로의 경우 이는 다음과 같이 표시될 수 있습니다.

 

직렬 RLC 회로의 세 구성 요소 모두 에 걸친 소스 전압의 진폭은 세 가지 개별 구성 요소 전압 V R , V L 및 VC 와 세 구성 요소 모두에 공통된 전류로 구성됩니다 . 따라서 벡터 다이어그램은 아래 표시된 대로 이 기준과 관련하여 플롯되는 3개의 전압 벡터와 함께 기준으로 전류 벡터를 갖게 됩니다.

개별 전압 벡터

 

이는 세 가지 전압 벡터가 모두 전류 벡터와 관련하여 서로 다른 방향을 가리키기 때문에 세 가지 구성 요소 모두에 걸쳐 공급 전압 V S 를 찾기 위해 단순히 VR , V L 및 VC 를 더할 수 없다는 것을 의미합니다. 따라서 우리는 벡터 방식으로 함께 결합된 세 가지 구성 요소 전압의 페이저 합인 공급 전압 V S 를 찾아야 합니다 .

루프 및 노드 회로 모두에 대한 키르히호프의 전압 법칙(KVL)은 모든 폐쇄 루프 주변에서 루프 주변의 전압 강하의 합은 EMF의 합과 같다고 명시합니다. 그런 다음 이 법칙을 세 가지 전압에 적용하면 소스 전압의 진폭 V S as를 얻을 수 있습니다.

직렬 RLC 회로의 순시 전압

 

직렬 RLC 회로의 페이저 다이어그램은 위의 세 가지 개별 페이저를 결합하고 이러한 전압을 벡터 방식으로 추가하여 생성됩니다. 회로를 통해 흐르는 전류는 세 개의 회로 요소 모두에 공통적이므로 이를 기준 벡터로 사용할 수 있으며, 이에 대응하는 각도에서 이에 상대적으로 그려진 세 개의 전압 벡터를 사용할 수 있습니다.

결과 벡터 V S 는 두 개의 벡터 V L 과 V C 를 더한 다음 이 합을 나머지 벡터 V R 에 추가하여 얻습니다 . VS 와 i 사이에서 얻은 결과 각도는 아래와 같이 회로의 위상 각도가 됩니다.

직렬 RLC 회로의 페이저 다이어그램

 

 

위 오른쪽의 페이저 다이어그램에서 전압 벡터가 빗변 VS , 수평 축 VR 및 수직 축 V L –  V C 로 구성된 직사각형 삼각형 을 생성한다는   것을 알 수 있습니다. 예전에는 전압 삼각형을 좋아했으며 따라서 우리는 이 전압 삼각형에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여 그림과 같이 V S 값을 수학적으로 얻을 수 있습니다 .

직렬 RLC 회로의 전압 삼각형

 

위의 방정식을 사용할 때 최종 무효 전압은 항상 양수 값이어야 합니다. 즉, 가장 작은 전압은 항상 가장 큰 전압에서 제거되어야 하며 VR에 음의 전압을 추가할 수 없으므로 다음이 옳 습니다 . V L  – VC  또는   VC  – V L 이 있습니다 . 가장 큰 값에서 가장 작은 값 을 선택하지 않으면 VS 계산이 올바르지 않게 됩니다.

위에서 우리는 직렬 RLC 회로의 모든 구성 요소에서 전류의 진폭과 위상이 동일하다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 각 구성 요소의 전압은 흐르는 전류에 따라 수학적으로 설명할 수 있으며 각 구성 요소의 전압은 다음과 같습니다.

 

전압 삼각형에 대해 위의 피타고라스 방정식에 이 값을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

따라서 소스 전압의 진폭은 회로를 통해 흐르는 전류의 진폭에 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 이 비례 상수는 궁극적으로 저항과 유도성 및 용량성 리액턴스에 따라 달라지는 회로의 임피던스 라고 합니다 .

그런 다음 위의 직렬 RLC 회로에서 전류 흐름에 대한 반대는 X L , X C 및 R 의 세 가지 구성 요소로 구성되어 있으며 모든 직렬 RLC 회로의 리액턴스 X T 는 다음과 같이 정의됩니다. X T  = X L  – X C  또는   X T  = X C  – X L   중 더 큰 것. 따라서 회로의 전체 임피던스는 회로를 통해 전류를 구동하는 데 필요한 전압 소스로 간주됩니다.

직렬 RLC 회로의 임피던스

3개의 벡터 전압이 서로 위상이 다르기 때문에 X L , X C 및 R 또한 서로 "위상"이어야 하며 R , X L 및 X C 간의 관계는 벡터 합입니다. 이 세 가지 구성 요소 중. 이는 RLC 회로의 전체 임피던스 Z를 제공합니다 . 이러한 회로 임피던스는 아래와 같이 임피던스 삼각형 으로 그려지고 표시될 수 있습니다.

직렬 RLC 회로의 임피던스 삼각형

 

직렬 RLC 회로의 임피던스 Z는 X L 및 X C와 마찬가지로 각주파수 Ω 에 따라 달라집니다.   용량성 리액턴스가 유도성 리액턴스( X C  > X L) 보다 크면 전체 회로 리액턴스는 용량성이므로 선도적인 위상각을 제공합니다. .

마찬가지로, 유도성 리액턴스가 용량성 리액턴스보다 크면 X L  > X C 이면 전체 회로 리액턴스는 유도성이기 때문에 직렬 회로에 지체 위상각이 발생합니다. 두 개의 리액턴스가 동일하고 X L  = X C 이면 이것이 발생하는 각주파수를 공진 주파수라고 하며 공진 효과를 생성하며 이에 대해서는 다른 튜토리얼에서 자세히 살펴보겠습니다.

그러면 전류의 크기는 직렬 RLC 회로에 적용되는 주파수에 따라 달라집니다. 임피던스 Z 가 최대일 때 전류는 최소이고, 마찬가지로 Z가 최소일 때 전류는 최대입니다. 따라서 위의 임피던스 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

 

소스 전압 VS 와 전류 i 사이의 위상 각도 θ는 임피던스 삼각형의 Z 와 R 사이의 각도와 동일합니다 . 이 위상각은 소스 전압이 회로 전류를 앞서는지 또는 뒤처지는지에 따라 값이 양수이거나 음수일 수 있으며 다음과 같이 임피던스 삼각형의 저항 값으로부터 수학적으로 계산할 수 있습니다.

직렬 RLC 회로 예 No1

12Ω의 저항, 0.15H의 인덕턴스 및 100uF의 커패시터를 포함하는 직렬 RLC 회로는 100V, 50Hz 전원에 직렬로 연결됩니다. 전체 회로 임피던스, 회로 전류, 역률을 계산하고 전압 페이저 다이어그램을 그립니다.

 

유도성 리액턴스, X L .

 

용량성 리액턴스, X C .

 

회로 임피던스, Z .

 

회로 전류, I .

 

직렬 RLC 회로 의 전압 VR , V L , VC .

 

회로 역률 및 위상각, θ .

 

페이저 다이어그램.

 

위상각 θ는 51.8o 의 양의 값으로 계산되므로 회로의 전체 리액턴스는 유도성이 있어야 합니다. 직렬 RLC 회로에서 전류 벡터를 기준 벡터로 사용하면 전류가 소스 전압보다 51.8o만큼 "지연"되므로 니모닉 표현 "ELI" 로 확인된 것처럼 위상 각도가 지연된다고 말할 수 있습니다 .

튜토리얼 요약

저항기, 인덕터 및 커패시터를 포함하는 직렬 RLC 회로 에서 소스 전압 VS 는 세 가지 구성 요소 VR , V L 및 VC 로 구성된 페이저 합계이며 세 가지 모두에 공통된 전류를 갖습니다 . 전류는 세 가지 구성 요소 모두에 공통적이므로 전압 삼각형을 구성할 때 수평 기준으로 사용됩니다.

회로의 임피던스는 전류 흐름에 대한 총 반대입니다. 직렬 RLC 회로의 경우 전압 삼각형의 각 측면을 전류 I 로 나누어 임피던스 삼각형을 그릴 수 있습니다 . 저항성 요소의 전압 강하는 I*R 과 같고 , 두 반응성 요소의 전압은 I*X = I*X L  – I*X C 이며, 소스 전압은 I*Z 와 같습니다 . VS 와 I 사이 의 각도는 위상각 θ 가 됩니다 .

여러 저항, 커패시턴스 또는 인덕턴스(순수 또는 비순수)를 포함하는 직렬 RLC 회로로 작업할 때 모두 함께 추가하여 단일 구성 요소를 형성할 수 있습니다. 예를 들어 모든 저항이 함께 추가됩니다. R T  = ( R 1  + R 2  + R 3  ) … 등 또는 모든 인덕턴스의 L T  = ( L 1  + L 2  + L 3  ) … 이런 식으로 많은 요소를 포함하는 회로는 다음과 같이 할 수 있습니다. 단일 임피던스로 쉽게 감소됩니다.

 

 

병렬 RLC 회로에 대한 다음 튜토리얼에서는 정상 상태 정현파 AC 파형이 해당 페이저 다이어그램 표현과 함께 적용될 때 병렬 회로 구성에서 이번에 함께 연결된 세 구성 요소의 전압-전류 관계를 살펴보겠습니다. 또한 처음으로 Admittance 의 개념을 소개합니다 .