병렬 RLC 회로 분석

병렬 RLC 회로 분석

병렬 공진 회로는 적용된 전류 소스와 병렬로 연결된 병렬 RLC 조합으로 구성됩니다.

병렬 RLC 회로는 이전 개념과 방정식 중 일부가 여전히 적용되지만 이전 자습서에서 살펴본 직렬 회로와 정반대입니다. 그러나 병렬 RLC 회로 의 분석은 직렬 RLC 회로 보다 수학적으로 조금 더 어려울 수 있으므로 병렬 RLC 회로에 대한 이 튜토리얼에서는 순수 구성 요소만 단순하게 유지한다고 가정합니다.

이번에는 전류가 회로 구성 요소에 공통되는 대신 적용된 전압이 이제 모든 구성 요소에 공통되므로 각 요소를 통해 개별 분기 전류를 찾아야 합니다. 병렬 RLC 회로의 총 임피던스 Z는 DC 병렬 회로와 유사한 회로의 전류를 사용하여 계산됩니다. 차이점은 임피던스 대신 어드미턴스가 사용된다는 점입니다. 아래의 병렬 RLC 회로를 고려하십시오.

병렬 RLC 회로

 

위의 병렬 RLC 회로에서 공급 전압 V S는 세 가지 구성 요소 모두에 공통인 반면 공급 전류 IS는 세 부분으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다 . 저항기를 통해 흐르는 전류 I R , 인덕터를 통해 흐르는 전류 IL L 및 커패시터를 통해 흐르는 전류 I C .

 

그러나 각 분기를 통해 흐르는 전류와 그에 따른 각 구성 요소는 서로 다르며 공급 전류 IS도 다릅니다 . 공급 장치에서 끌어온 총 전류는 세 가지 개별 분기 전류의 수학적 합이 아니라 벡터 합이 됩니다.

직렬 RLC 회로와 마찬가지로 페이저 또는 벡터 방법을 사용하여 이 회로를 풀 수 있지만 이번에는 벡터 다이어그램이 전압과 관련하여 표시된 3개의 전류 벡터를 사용하여 전압을 기준으로 사용합니다. 병렬 RLC 회로의 페이저 다이어그램은 각 구성 요소에 대한 세 개의 개별 페이저를 함께 결합하고 전류를 벡터 방식으로 추가하여 생성됩니다.

회로 전체의 전압은 세 개의 회로 요소 모두에 공통적이므로 이를 기준 벡터로 사용할 수 있으며, 이에 대응하는 각도에서 이에 상대적으로 그려진 세 개의 전류 벡터가 있습니다. 결과적인 벡터 전류 IS 는 두 개의 벡터 IL 과 IC 를 더한 다음 이 합을 나머지 벡터 IR에 더하여 얻 습니다 . V 와 IS 사이에서 얻은 결과 각도는 아래와 같이 회로의 위상 각도가 됩니다.

병렬 RLC 회로의 페이저 다이어그램

 

위 오른쪽 페이저 다이어그램에서 현재 벡터가 빗변 I S , 수평 축 I R 및 수직 축 I L  – I C 로 구성된 직사각형 삼각형을 생성한다는 것을 알 수 있습니다   . 그러면 이것이 다음을 형성한다는 것을 알 수 있기를 바랍니다. 현재 삼각형 . 따라서 우리는 이 전류 삼각형에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여 x축과 y축을 따라 분기 전류의 개별 크기를 수학적으로 얻을 수 있으며, 이는 표시된 대로 이러한 구성 요소의 총 공급 전류 IS 를 결정합니다.

병렬 RLC 회로의 전류 삼각형

 

회로 전체의 전압은 세 가지 회로 요소 모두에 공통적이므로 각 분기를 통과하는 전류는 키르히호프 전류 법칙(KCL)을 사용하여 찾을 수 있습니다. 키르히호프의 현행 법칙 또는 접합 법칙에 따르면 "접합점이나 노드에 들어가는 총 전류는 해당 노드에서 나가는 전류와 정확히 동일합니다"라고 명시되어 있습니다. 따라서 위의 노드 "A"에 들어오고 나가는 전류는 다음과 같습니다.

 

도함수를 취하여 위의 방정식을 C 로 나눈 다음 다시 정리하면 다음과 같은 회로 전류에 대한 2차 방정식이 제공됩니다. 회로에는 인덕터와 커패시터라는 두 개의 반응성 요소가 있기 때문에 2차 방정식이 됩니다.

 

이 유형의 AC 회로에서 전류 흐름에 대한 반대는 X L X C 및 R 의 세 가지 구성 요소로 구성되며 이 세 가지 값의 조합은 회로 임피던스 Z를 제공합니다 . 위에서 우리는 병렬 RLC 회로의 모든 구성 요소에서 전압의 진폭과 위상이 동일하다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 각 구성 요소의 임피던스는 흐르는 전류와 각 요소의 전압에 따라 수학적으로 설명할 수도 있습니다.

병렬 RLC 회로의 임피던스

 

 

병렬 RLC 회로의 최종 방정식은 각 요소가 임피던스의 역수( 1/Z ) 가 되므로 각 병렬 분기에 대해 복잡한 임피던스를 생성한다는 것을 알 수 있습니다 . 임피던스의 역수는 일반적으로 어드미턴스(Admittance) , 기호( Y )라고 합니다.

병렬 AC 회로에서는 특히 두 개 이상의 병렬 분기 임피던스가 포함될 때 복잡한 분기 임피던스를 해결하기 위해 어드미턴스를 사용하는 것이 일반적으로 더 편리합니다(수학에 도움이 됩니다). 회로의 총 어드미턴스는 병렬 어드미턴스를 더하여 간단히 구할 수 있습니다. 그러면 회로의 총 임피던스 Z T는 그림과 같이 1/Y T Siemens가 됩니다.

병렬 RLC 회로의 승인

 

현재 어드미턴스에 일반적으로 사용되는 측정 단위는 S 로 축약되는 Siemens 입니다 (기존 단위 mho는 ℧ , ohm은 역순임). 어드미턴스는 병렬 분기에서 함께 추가되는 반면 임피던스는 직렬 분기에서 함께 추가됩니다. 그러나 임피던스의 역수를 가질 수 있다면 임피던스는 R 과 X 라는 두 가지 구성 요소로 구성되므로 저항과 리액턴스의 역수도 가질 수 있습니다 . 그러면 저항의 역수를 컨덕턴스(Conductance) 라고 하고 리액턴스의 역수를 서셉 턴스(Susceptance) 라고 합니다 .

컨덕턴스, 어드미턴스 및 서셉턴스

컨덕턴스 , 어드미턴스 및 서셉턴스 에 사용되는 단위는 모두 동일합니다. 즉 Siemens(S)입니다. 이는 옴 또는 옴 -1 의 역수로 생각할 수도 있지만 각 요소에 사용되는 기호는 다르며 순수 구성 요소에서는 다음과 같습니다. 다음과 같이 주어진다:

어드미턴스 ( Y ) :

어드미턴스는 임피던스 Z 의 역수 이며 기호 Y 로 표시됩니다 . AC 회로에서 어드미턴스는 저항과 리액턴스로 구성된 회로에서 전압과 전류의 위상차를 고려하여 전압을 가할 때 전류가 흐르도록 하는 용이성으로 정의됩니다.

병렬 회로의 어드미턴스는 어드미턴스 각도가 임피던스 각도에 대해 음수인 페이저 전압에 대한 페이저 전류의 비율입니다.

컨덕턴스(G):

컨덕턴스는 저항 R 의 역수 이며 기호 G 로 표시됩니다 . 컨덕턴스는 AC 또는 DC 전압이 적용될 때 저항기(또는 저항기 세트)가 전류를 흐르게 하는 용이성으로 정의됩니다.

서셉턴스(B):

서셉턴스는 순수 리액턴스 X 의 역수 이며 기호 B 로 표시됩니다 . AC 회로에서 서셉턴스는 주어진 주파수의 전압이 적용될 때 리액턴스(또는 일련의 리액턴스)가 교류 전류를 흐르게 하는 용이성으로 정의됩니다.

서셉턴스는 리액턴스와 반대 부호를 가지므로 용량성 서셉턴스 B C 는 양수(+ve) 값이고 유도성 서셉턴스 B L 은 음수(-ve) 값입니다.

따라서 유도성 및 용량성 서셉턴스를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

AC 직렬 회로에서 전류 흐름에 대한 반대는 저항 R 과 리액턴스 X 라는 두 가지 구성 요소를 갖는 임피던스 Z 이며, 이 두 구성 요소로부터 임피던스 삼각형을 구성할 수 있습니다. 마찬가지로, 병렬 RLC 회로에서 어드미턴스 Y 에는 컨덕턴스 G 와 서셉턴스 B 라는 두 가지 구성 요소도 있습니다 . 이는 그림과 같이 수평 컨덕턴스 축 G 와 수직 서셉턴스 축 jB 를 갖는 어드미턴스 삼각형을 구성하는 것을 가능하게 합니다 .

병렬 RLC 회로의 어드미턴스 삼각형

 

이제 어드미턴스 삼각형이 있으므로 피타고라스를 사용하여 그림과 같이 세 변의 크기와 위상각을 모두 계산할 수 있습니다.

피타고라스 출신

그런 다음 회로의 어드미턴스와 어드미턴스에 대한 임피던스를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

역률 각도는 다음과 같습니다.

 

병렬 RLC 회로의 어드미턴스 Y 는 복소수이므로 직렬 회로의 일반적인 임피던스 형식 Z = R + jX 에 해당하는 어드미턴스는 실수부 G 가 다음과 같은 병렬 회로의 경우 Y = G – jB 로 작성됩니다. 컨덕턴스와 허수부 jB 는 서셉턴스입니다. 극형에서는 다음과 같이 주어집니다.

병렬 RLC 회로 예 No1

1kΩ 저항, 142mH 코일 및 160uF 커패시터 는 모두 240V, 60Hz 전원에 병렬로 연결됩니다. 병렬 RLC 회로의 임피던스와 전원에서 끌어온 전류를 계산합니다.

병렬 RLC 회로의 임피던스

AC 회로에서 저항은 주파수에 영향을 받지 않으므로 R = 1kΩ

유도성 리액턴스(  XL )  :

용량성 리액턴스(  XC )  :

임피던스, (  Z  ):

공급 전류, (  )  :

병렬 RLC 회로 예 No2

50Ω 저항 , 20mH 코일 및 5uF 커패시터는 모두 50V, 100Hz 전원에 병렬로 연결됩니다. 공급 장치에서 가져온 총 전류, 각 분기의 전류, 회로의 총 임피던스 및 위상 각도를 계산합니다. 또한 회로를 나타내는 전류 및 어드미턴스 삼각형을 구성합니다.

병렬 RLC 회로

1). 유도성 리액턴스( XL ) :

2). 용량성 리액턴스( XC ) :

삼). 임피던스, ( Z ):

4). 저항 을 통한 전류, R( IR ):

5). 인덕터 를 통한 전류, L( IL ):

6). 커패시터를 통과하는 전류, C( IC ) :

7). 총 공급 전류, ( I S ):

8). 컨덕턴스( G ):

9). 유도 서셉턴스( BL ) :

10). 용량성 서셉턴스( BC ) :

11). 어드미턴스, ( Y ):

12). 합성 전류와 공급 전압 사이의 위상각( ψ ):

전류 및 어드미턴스 삼각형

병렬 RLC 회로 요약

저항기, 인덕터 및 커패시터를 포함하는 병렬 RLC 회로 에서 회로 전류 IS 는 세 가지 구성 요소 I R , IL 및 IC 로 구성된 페이저 합이며 세 가지 모두에 공통된 공급 전압을 갖습니다. 공급 전압은 세 가지 구성 요소 모두에 공통적이므로 전류 삼각형을 구성할 때 수평 기준으로 사용됩니다.

병렬 RLC 네트워크는 직렬 RLC 회로와 마찬가지로 벡터 다이어그램을 사용하여 분석할 수 있습니다. 그러나 병렬 RLC 회로 분석은 두 개 이상의 전류 분기가 포함된 경우 직렬 RLC 회로보다 수학적으로 조금 더 어렵습니다. 따라서 AC 병렬 회로는 어드미턴스( Admittance) 라는 임피던스의 역수를 사용하여 쉽게 분석할 수 있습니다 .

어드미턴스는 기호 Y가 주어지면 임피던스의 역수입니다 . 임피던스와 마찬가지로 실수부와 허수부로 구성된 복소수입니다. 실수부는 저항의 역수이며 컨덕턴스 (기호 Y) 라고 합니다 . 허수부는 리액턴스의 역수이며 서셉턴스 (기호 B) 라고 하며 다음과 같이 복소수 형태로 표현됩니다. Y = G + jB   두 복소 임피던스 사이의 이중성은 다음과 같이 정의됩니다.

직렬 회로	병렬 회로
전압, (V)	현재, (나)
저항, (R)	컨덕턴스, (G)
리액턴스, (X)	서셉턴스, (B)
임피던스, (Z)	어드미턴스, (Y)

서셉턴스는 리액턴스의 역수이므로 유도성 회로에서는 유도성 서셉턴스 B L 은 음의 값이 되고, 용량성 회로에서는 용량성 서셉턴스 B C 는 양의 값이 됩니다. 각각 X L 및 X C와 정반대입니다 .

지금까지 직렬 및 병렬 RLC 회로에는 동일한 회로 내에 용량성 리액턴스와 유도성 리액턴스가 모두 포함되어 있음을 살펴보았습니다. 이러한 회로의 주파수를 변경하면 용량성 리액턴스 값이 유도성 리액턴스 값과 같아지는 지점이 있어야 하며 따라서 X C = X L 입니다.

이것이 발생하는 주파수 지점을 공진이라고 하며 다음 튜토리얼에서는 직렬 공진과 그 존재가 회로의 특성을 어떻게 변경하는지 살펴보겠습니다.