부울 대수학의 법칙

부울 대수학의 법칙

부울 대수학은 일련의 법칙과 규칙을 사용하여 디지털 논리 회로의 작동을 정의합니다.

특정 논리 연산을 수행하는 데 필요한 논리 게이트 수를 줄이는 데 도움이 되는 일련의 규칙 또는 부울 대수학 표현식이 발명되어 일반적으로 부울 대수학 법칙 으로 알려진 함수 또는 정리 목록이 생성됩니다 .

디지털 입력 또는 출력을 나타내는 데 사용되는 논리 기호 "0"과 "1"뿐만 아니라 이를 각각 영구적인 "개방" 또는 "폐쇄" 회로 또는 접점에 대한 상수로 사용할 수도 있습니다.

부울 대수학은 디지털 게이트와 회로를 분석하는 데 사용하는 수학입니다. 필요한 논리 게이트 수를 줄이기 위해 이러한 "부울 법칙"을 사용하여 복잡한 부울 표현식을 줄이고 단순화할 수 있습니다. 따라서 부울 대수학은 부울 표현을 정의하고 줄이는 데 사용되는 고유한 규칙 또는 법칙 세트를 갖는 논리를 기반으로 하는 수학 시스템입니다.

부울 대수학 에 사용되는 변수는 논리 "0"과 논리 "1"의 두 가지 가능한 값 중 하나만 가지지만 표현식은 표현식에 대한 입력을 나타내기 위해 개별적으로 레이블이 지정된 무한한 수의 변수를 가질 수 있습니다. 예를 들어 변수 A , B, C 등은 A + B = C라는 논리식을 제공하지만 각 변수는 0 또는 1만 될 수 있습니다.

 

부울의 개별 법칙, 부울 대수에 대한 규칙 및 정리의 예가 다음 표에 나와 있습니다.

진리표

불리언 표현식	설명	등가 스위칭 회로	부울 대수 법칙 또는 규칙
A + 1 = 1	닫힌 상태와 평행한 A = "CLOSED"		무효 선언
A + 0 = A	개방 과 병렬인 A = "A"		신원
ㅏ . 1 = A	닫힌 시리즈의 A = "A"		신원
ㅏ . 0 = 0	개방형 = "OPEN" 과 직렬로 연결된 A		무효 선언
A + A = A	A = "A" 와 병렬인 A		멱등성
ㅏ . A = A	A = "A" 와 직렬로 연결된 A		멱등성
A가 아님   = A	NOT NOT A (이중 부정) = “A”		이중 부정
A + A  = 1	NOT A 와 병렬인 A = "CLOSED"		보어
ㅏ . A  = 0	NOT A = "OPEN" 과 직렬인 A		보어
A+B = B+A	A와 B의 병렬 = B와 A의 병렬		교환식
AB = 바	A와 B의 직렬 연결 = B와 A의 직렬 연결		교환식
A+B  =  A . 비	OR를 AND로 뒤집어 교체		모건의 정리
AB  =  A + B	AND를 OR로 뒤집어 교체		모건의 정리

덧셈과 곱셈의 위치 변화를 허용하는 교환 법칙 , 덧셈과 곱셈의 괄호 제거를 허용하는 결합 법칙 , 식의 인수분해를 허용하는 분배 법칙과 관련된 부울 대수학의 기본 법칙은 다음과 같습니다. 일반 대수와 동일합니다.

위 의 각 부울 법칙은 단지 하나 또는 두 개의 변수로 주어지지만, 단일 법칙에 의해 정의되는 변수의 수는 이에 국한되지 않습니다. 표현식도 입력으로 변수의 수가 무한할 수 있기 때문입니다. 위에 자세히 설명된 이러한 부울 법칙은 주어진 부울 표현을 증명하고 복잡한 디지털 회로를 단순화하는 데 사용될 수 있습니다.

다양한 부울 법칙 에 대한 간략한 설명은 변수 입력을 나타내는 A 와 함께 아래에 제공됩니다 .

부울 대수학의 법칙에 대한 설명

• 무효화 법 –"0"이 붙은 용어는 0과 같거나 "1" 이 붙은 용어는 1과 같습니다.
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  • ㅏ . 0 = 0 0     과 AND된 변수는 항상 0과 같습니다.
  • A + 1 = 1 1     과 OR된 변수는 항상 1과 같습니다.
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• 동일성 법칙 - "0"으로 OR '된 용어또는 "1"로 AND '된 용어는 항상 해당 용어와 동일합니다.
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  • A + 0 = A    0과 OR된 변수는 항상 변수와 같습니다.
  • ㅏ . 1 = A     1로 AND된 변수는 항상 변수와 같습니다.
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• 멱등 법칙 - 자신과 AND 'ed 또는 OR 'ed된 입력은해당 입력과 동일합니다.
•  
  • A + A = A     자신과 OR된 변수는 항상 변수와 같습니다.
  • ㅏ . A = A     자신과 AND된 변수는 항상 변수와 같습니다.
•  
• 보수 법칙 - 보수 와 AND '로 묶인 용어는 "0"과 같고 보수로 OR 로 묶인 용어는 "1"과 같습니다.
•  
  • ㅏ . A = 0     보수와 AND된 변수는 항상 0과 같습니다.
  • A + A = 1     보수와 OR된 변수는 항상 1과 같습니다.
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• 교환 법칙 – 두 개의 별도 용어를 적용하는 순서는 중요하지 않습니다.
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  • ㅏ . B = B . A     두 변수를 AND로 묶는 순서는 아무런 차이가 없습니다.
  • A + B = B + A     두 변수가 OR되는 순서는 차이가 없습니다.
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• 이중 부정의 법칙 - 두 번 반전된 항은 원래 항과 동일합니다.
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  • A = A      변수의 이중 보수는 항상 변수와 같습니다.
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• 드 모건의 정리(de Morgan's Theorem) - 두 가지 "드 모건의" 규칙 또는 정리가 있습니다.
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• (1) 함께 NOR 로 연결된 두 개의 별도 용어는 두 개의 용어가 반전(보완)되고 AND 된 것과 동일합니다. 예:   A+B  =  A  . 비
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• (2) 함께 NAND 로 연결된 두 개의 별도 항은 반전된(보완) 및 OR 로 연결된 두 항과 동일합니다. 예:   AB  =  A  +  B

 

위에 자세히 설명되지 않은 기타 부울 대수 법칙은 다음과 같습니다.

• 부울 가정 - 부울 법칙 자체는 아니지만 부울 표현식을 단순화하는 데 사용할 수 있는 일련의 수학 법칙입니다.
•  
  • 0 . 0 = 0     0 자신과 AND'된 값은 항상 0과 같습니다.
  • 1 . 1 = 1     1 자신과 AND'된 값은 항상 1과 같습니다.
  • 1 . 0 = 0     1과 0을 AND하면 0과 같습니다.
  • 0 + 0 = 0 0     자신과의 OR'은 항상 0과 같습니다.
  • 1 + 1 = 1     A 1 자신과 OR'ed는 항상 1과 같습니다.
  • 1 + 0 = 1     1과 0을 OR하면 1과 같습니다.
  • 1 = 0     1의 역수(보수)는 항상 0과 같습니다.
  • 0 = 1     0의 역수(보수)는 항상 1과 같습니다.
•  
• 분배 법칙 – 이 법칙은 표현식의 곱셈 또는 인수분해를 허용합니다.
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  • A(B + C) = AB + AC     (OR 분배법칙)
  • A + (BC) = (A + B).(A + C)     (AND 분배 법칙)
•  
• 흡수 법칙(Absorptive Law) - 이 법칙은 유사한 용어를 흡수하여 복잡한 표현을 간단한 표현으로 축소할 수 있게 해줍니다.
•  
  • A + (AB) = (A.1) + (AB) = A(1 + B) = A   (OR 흡수 법칙)
  • A(A + B) = (A + 0).(A + B) = A + (0.B) = A   (AND 흡수 법칙)
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• 결합 법칙 – 이 법칙을 사용하면 표현식에서 괄호를 제거하고 변수를 다시 그룹화할 수 있습니다.
•  
  • A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (OR 준법)
  • A(BC) = (AB)C = A . 비. C(및 준법률)

부울 대수 함수

위의 정보를 사용하여 간단한 2입력 AND, OR 및 NOT 게이트는 다음 표와 같이 16가지 가능한 기능으로 표현할 수 있습니다.

기능	설명	표현
1.	없는	0
2.	신원	1
3.	입력 A	ㅏ
4.	입력 B	비
5.	A가 아님	ㅏ
6.	B 아님	비
7.	A와 B(그리고)	ㅏ . 비
8.	A AND NOT B	ㅏ . 비
9.	A와 B가 아님	ㅏ  . 비
10.	NOT AND(낸드)	ㅏ . 비
11.	A 또는 B (또는)	A + B
12.	A 또는 B 아님	A +  B
13.	A 또는 B가 아님	A  + B
14.	아님(NOR)	A + B
15.	배타적-OR	ㅏ . B  +  A  . 비
16.	배타적-NOR	ㅏ . B+  A  . 비

부울 대수학의 법칙 예제 No1

위의 법칙을 사용하여 다음 표현식을 단순화합니다.   (A + B)(A + C)

질문 =	(A + B).(A + C)
	AA + AC + AB + BC	– 분배법칙
	A + AC + AB + BC	– 멱등성 AND 법칙(AA = A)
	A(1 + C) + AB + BC	– 분배법칙
	A.1 + AB + BC	– 항등 OR 법칙(1 + C = 1)
	A(1 + B) + 기원전	– 분배법칙
	A.1 + 기원전	– 항등 OR 법칙(1 + B = 1)
질문 =	A + (BC)	– 항등 AND 법칙(A.1 = A)

 

그러면 표현식:   (A + B)(A + C)는 분배법칙에서와 같이 A + (BC) 로 단순화될 수 있습니다 .