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페이저 다이어그램 및 페이저 대수학

페이저 다이어그램(Phasor Diagrams)은 두 개 이상의 교번 수량 사이의 크기와 방향 관계를 나타내는 그래픽 방식입니다.

페이저 다이어그램은 수동 부품 또는 전체 회로 내 전압과 전류 간의 위상 관계를 좌표계에 그래프로 표현한 것입니다. 일반적으로 페이저는 항상 x축을 따라 오른쪽을 가리키는 기준 페이저를 기준으로 정의됩니다.

동일한 주파수의 정현파 파형은 두 정현파 파형의 각도 차이를 나타내는 위상차를 가질 수 있습니다. 또한 "리드(lead)" 및 "지연(lag)", "동위상(in-phase)" 및 "역위상(out-of-phase)"이라는 용어는 하나의 정현파 파형과 다른 정현파 파형의 관계를 나타내는 데 일반적으로 사용됩니다. A (t)  = A m  sin(Ωt ± Φ) 로 주어진 일반화된 정현파 표현은 시간 영역 형태의 정현파를 나타냅니다.

그러나 이런 방식으로 수학적으로 표현하면 두 개(또는 그 이상) 정현파 간의 각도 또는 페이저 차이를 시각화하는 것이 어려울 수 있습니다. 이 문제를 극복하는 한 가지 방법은 페이저 다이어그램(Phasor Diagrams)을 사용하여 공간 또는 페이저 영역 형식 내에서 정현파를 그래픽으로 표현하는 것입니다 . 이는 회전 벡터 방법을 통해 달성됩니다.

기본적으로 " 위상 벡터 " 라고도 간주되는 회전 벡터는 길이가 크기("피크 진폭")와 방향("위상")을 모두 갖고 일부 지점에서 "동결"된 AC 양을 나타내는 길이의 축척된 선입니다. 시점.

 

부분적으로는 벡터 양(  Vm 또는 Im  )의 최대값을 나타내고 부분적으로는 회전하는 벡터의 끝 부분을 나타내는 화살표 머리가 한쪽 끝에 있는 벡터입니다.

일반적으로 벡터는 "원점"이라고 알려진 고정된 영점을 중심으로 한쪽 끝에서 회전하는 것으로 가정됩니다. 화살표 끝은 각속도( )에서 시계 반대 방향으로 자유롭게 회전하는 양을 나타  냅니다  . 벡터의 시계 반대 방향 회전은 양의 회전으로 간주됩니다. 마찬가지로 시계 방향 회전은 음의 회전으로 간주됩니다.

벡터와 페이저라는 용어는 모두 크기와 방향을 모두 갖는 회전 선을 설명하는 데 사용되지만, 둘 사이의 주요 차이점은 벡터 크기는 정현파의 "피크 값"인 반면 페이저 복소 크기는 "피크 값"이라는 것입니다. 리액턴스가 있는 AC 회로를 처리할 때 정현파의 "rms 값"입니다. 두 경우 모두 위상각, 방향 및 각속도는 동일하게 유지됩니다.

어떤 순간의 교번량의 위상은 페이저 다이어그램으로 표현할 수 있습니다. 따라서 페이저 다이어그램은 "시간의 함수"를 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 완전한 사인파는 Ω = 2πf 의 각속도에서 시계 반대 방향으로 회전하는 단일 벡터로 구성될 수 있습니다 . 여기서 θ는 파형의 주파수를 나타냅니다. 그러면 위상기는 "크기"와 "방향"을 모두 갖는 수량입니다.

또한 벡터는 평행사변형 덧셈과 뺄셈의 법칙을 따르므로 서로 더해 각속도에서 시계 반대 방향으로 회전하는 벡터 합을 생성할 수 있습니다. 반면에 위상기는 수학적인 형태(직사각형, 극형 또는 지수 형식)를 나타냅니다. 예를 들어 (a + jb)입니다. 따라서 페이저 표기법은 전압과 전류의 유효(rms) 크기를 정의합니다.

일반적으로 페이저 다이어그램을 구성할 때 사인파의 각속도는 항상 rad/sec 단위 로 가정됩니다 . 아래의 페이저 다이어그램을 고려하십시오.

사인파형의 페이저 다이어그램

 

단일 벡터가 시계 반대 방향으로 회전할 때 A 지점의 팁은 360 ° 또는 2π 의 완전한 1회전을 회전하여 하나의 완전한 주기를 나타냅니다.

움직이는 팁의 길이를 시간에 따라 다른 각도 간격으로 그래프에 전달하면 위의 그림과 같이 시간이 0인 왼쪽부터 정현파형이 그려집니다. 가로 축의 각 위치는 0 시간( t = 0 ) 이후 경과된 시간을 나타냅니다 . 벡터가 수평인 경우 벡터의 끝은 0o , 180o 및 360o 의 각도를 나타냅니다 .

마찬가지로 벡터의 끝이 수직인 경우 90o 또는 π/2에서 양의 피크 값(+Am)을 나타내고  270o 또는 3π /  2 에서 음 의  피크 값(  -Am )을 나타냅니다 . 그런 다음 파형의 시간 축은 페이저가 이동한 각도를 각도 또는 라디안으로 나타냅니다. 따라서 페이저는 특정 시점(  t )에서 "동결"된 회전 벡터의 스케일링된 전압 또는 전류 값을 나타낸다고 말할 수 있으며 위의 예에서는 이는 30o  각도에 있습니다 .

때때로 교번 파형을 분석할 때 페이저의 위치를 ​​알아야 할 수도 있습니다. 즉, 특히 동일한 축에서 두 개의 서로 다른 파형을 비교하려는 경우 특정 지점에서 교번 양을 나타내는 것입니다. 예를 들어 전압과 전류가 있습니다. 위의 파형에서 파형은 도 또는 라디안 단위의 해당 위상 각도를 사용하여 시간 t = 0 에서 시작한다고 가정했습니다 .

그러나 두 번째 파형이 이 영점의 왼쪽이나 오른쪽에서 시작하거나 두 파형 간의 관계를 페이저 표기법으로 표현하려는 경우 이 위상차 인 파형의 Φ를 고려해야 합니다 . 이전 위상차 튜토리얼의 아래 다이어그램을 고려해보세요.

 

정현파의 위상차

 

이 두 정현파 수량을 정의하는 일반화된 수학적 표현은 다음과 같이 작성됩니다.

 

전류 i 는 각도 Φ 만큼 전압 v 보다 뒤처져 있으며 위의 예에서는 30o 입니다 . 따라서 두 정현파 양을 나타내는 두 페이저 간의 차이는 각도 Φ 이고 결과 페이저 다이어그램은 다음과 같습니다.

정현파의 페이저 다이어그램

 

페이저 다이어그램은   가로축에 시간 0( t = 0 )에 대응하여 그려집니다. 페이저의 길이는 페이저 다이어그램이 그려지는 순간의 전압(V)과 전류(I)의 값에 비례합니다.

전류 페이저는 앞에서 언급한 것처럼 두 페이저가 시계 반대 방향으로 회전하므로 각도 Φ만큼 전압 페이저보다 지연되므로 각도 Φ 도 동일한 반시계 방향으로 측정됩니다.

그러나 파형이 시간 t = 30o 에서 고정되면 해당 페이저 다이어그램은 오른쪽에 표시된 것과 같습니다. 두 파형의 주파수가 동일하므로 전류 페이저는 다시 전압 페이저보다 뒤떨어집니다.

그러나 현재 파형이 이제 이 순간 수평 제로 축 선을 교차하므로 전류 페이저를 새로운 기준으로 사용할 수 있으며 전압 페이저가 각도 Φ만큼 전류 페이저를 "선도"한다고 정확하게 말할 수 있습니다 . 어느 쪽이든 하나의 페이저는 기준 페이저로 지정되고 다른 모든 페이저는 이 기준과 관련하여 선행하거나 후행됩니다.

페이저 다이어그램의 페이저 추가

페이저의 좋은 용도 중 하나는 동일한 주파수의 정현파를 합산하는 것입니다. 때로는 정현파를 연구할 때 서로 위상이 같지 않은 AC 직렬 회로에서 두 개의 교번 파형을 합산해야 하는 경우가 있습니다.

"동위상"인 경우, 즉 위상 편이가 없으면 DC 값과 동일한 방식으로 함께 추가하여 두 벡터의 대수적 합을 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 각각 50V와 25V의 두 전압이 "동위상"으로 함께 있으면 서로 합산되어 75V(50 + 25)의 하나의 전압을 형성합니다.

그러나 동위상이 아닌 경우, 즉 방향이나 시작점이 동일하지 않은 경우 둘 사이의 위상 각도를 고려해야 하므로 페이저 다이어그램을 사용하여 함께 추가되어 결과 페이저 또는 벡터 합계를 결정 합니다. 평행사변형 법칙을 사용합니다 .

두 개의 AC 전압을 고려하십시오. V 1 은 20V의 피크 전압을 갖고, V 2 는 30V의 피크 전압을 가지며, 여기서 V 1 은 V 2 를 60o 앞서게 됩니다 .

두 전압의 총 전압 V T 는 먼저 두 벡터를 나타내는 페이저 다이어그램을 그린 다음 아래와 같이 두 변이 전압 V 1 및 V 2 인 평행사변형을 구성하여 구할 수 있습니다.

두 개의 페이저의 페이저 추가

 

두 개의 페이저를 그래프 용지에 그려서 페이저 합 V 1  + V 2 는 영점에서 교차점까지 "결과 r-벡터"라고 알려진 대각선 길이를 측정하여 쉽게 찾을 수 있습니다. 구성선 0-A . 이 그래픽 방법의 단점은 페이저를 크기에 맞게 그릴 때 시간이 많이 걸린다는 것입니다.

또한 이 그래픽 방법은 대부분의 목적에 대해 충분히 정확한 답변을 제공하지만 축척에 맞게 정확하거나 올바르게 그려지지 않으면 오류가 발생할 수 있습니다. 그렇다면 항상 정답을 얻는 한 가지 방법은 분석 방법을 사용하는 것입니다.

수학적으로 먼저 "수직" 및 "수평" 방향을 찾아 두 전압을 더할 수 있으며, 이로부터 결과 "r 벡터" V T 에 대한 "수직" 및 "수평" 구성 요소를 모두 계산할 수 있습니다 . 이 결과 값을 찾기 위해 코사인 및 사인 규칙을 사용하는 이 분석 방법을 일반적으로 직사각형 형식 이라고 합니다 .

직사각형 형태에서 페이저는 실수 부분인 x 와 허수 부분인 y 로 나누어 일반화된 표현인   Z = x ± jy 를 형성합니다 . (이에 대해서는 다음 튜토리얼에서 더 자세히 논의하겠습니다). 그러면 정현파 전압의 크기와 위상을 모두 다음과 같이 나타내는 수학적 표현이 제공됩니다.

복합 정현파의 정의

따라서 이전 일반화된 표현식을 사용하여 두 벡터 A 와 B 를 추가하면 다음과 같습니다.

직사각형 형태를 사용한 위상기 추가

30V의 전압 V 2 는 수평 영점 축을 따라 기준 방향을 가리키며 다음과 같이 수평 성분은 있지만 수직 성분은 없습니다.

• • 수평 구성요소 = 30 cos 0 o = 30V
• • 수직 구성요소 = 30 sin 0 o = 0V
• 그러면 다음과 같은 전압 V 2 에 대한 직사각형 표현이 제공됩니다 .   30 + j0

20V의 전압 V 1 은 전압 V 2 를 60o 만큼 앞서며 다음과 같이 수평 및 수직 성분을 모두 갖습니다.

• • 수평 구성 요소 = 20 cos 60o = 20 x 0.5 = 10V
• • 수직 구성 요소 = 20 sin 60 o = 20 x 0.866 = 17.32V
• 그러면 다음과 같은 전압 V 1 에 대한 직사각형 표현이 제공됩니다 .   10 + j17.32

결과적인 전압 V T 는 다음과 같이 수평 성분과 수직 성분을 합산하여 구합니다.

• V 수평 = V 1 과 V 2 의 실제 부분의 합 = 30 + 10 = 40V
• V 수직 = V 1 및 V 2 의 허수부의 합 = 0 + 17.32 = 17.32V

이제 실수값과 허수값 모두 전압의 크기를 찾았으므로 VT 는 90o 삼각형 에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여 다음과 같이 간단히 결정됩니다 .

 

그러면 결과 페이저 다이어그램은 다음과 같습니다.

V T 의 결과 값

페이저 다이어그램의 페이저 빼기

페이저 뺄셈은 위의 직사각형 덧셈 방법과 매우 유사합니다. 단, 이번에는 벡터 차이가 표시된 대로 V 1 과 V 2 의 두 전압 간 평행사변형의 다른 대각선이라는 점이 다릅니다.

두 위상기의 벡터 빼기

이번에는 수평 및 수직 구성 요소를 모두 "더하는" 대신 빼서 빼냅니다.

3상 페이저 다이어그램

이전에는 단일 다중 회전 코일이 자기장 내에서 회전하는 단상 AC 파형만 살펴보았습니다. 그러나 각각 동일한 코일 회전 수를 가진 3개의 동일한 코일이 동일한 회전자 샤프트에서 서로 120 ° 의 전기 각으로 배치되면 3상 전압 공급이 생성됩니다.

균형 잡힌 3상 전압 공급 장치는 크기와 주파수가 모두 동일하지만 전기적으로 정확히 120 ° 만큼 위상이 다른 3개의 개별 정현파 전압으로 구성됩니다 .

표준 관행은 세 가지 단계를 빨간색 , 노란색 , 파란색 으로 색상 코드화하여 빨간색 단계를 기준 단계로 사용하여 각 개별 단계를 식별하는 것입니다. 3상 공급 장치의 일반적인 회전 순서는 빨간색 , 노란색 , 파란색 순 입니다 (  R , Y , B  ).

위의 단상 페이저와 마찬가지로 3상 시스템을 나타내는 페이저도 rad/s 단위로 표시된 화살표로 표시된 대로 중심점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전 합니다 . 3상 평형 스타 또는 델타 연결 시스템의 페이저가 아래에 나와 있습니다.

3상 위상기 다이어그램

 

위상 전압은 모두 크기가 동일하지만 위상 각도만 다릅니다. 코일의 3개 권선은 a 1 , b 1 및 c 1 지점에서 함께 연결되어 3개의 개별 위상에 대한 공통 중성 연결을 생성합니다. 그런 다음 빨간색 위상을 기준 위상으로 사용하면 각 개별 위상 전압을 공통 중성선에 대해 정의할 수 있습니다.

3상 전압 방정식

 

앞에서 설명한 대로 빨간색 위상 전압 VRN 을 기준 전압으로 사용하면 위상 시퀀스는 R  –  Y  –  B 가 되므로 노란색 위상의 전압은 VRN 보다 120 ° 뒤지고 파란색 위상의 전압은 뒤처집니다. V YN 도 120o 로 . 그러나 청색 위상 전압 V BN이 적색 위상 전압 V RN 보다 120o 앞서 있다고 말할 수도 있습니다 .

3상 시스템에 대한 마지막 요점입니다. 3개의 개별 정현파 전압은 서로 120 ° 의 고정 관계 를 가지므로 "균형"이라고 합니다. 따라서 균형 잡힌 3상 전압 세트에서 페이저 합은 다음과 같이 항상 0이 됩니다.   V a  + V b  + V c  = 0

페이저 다이어그램 요약

그런 다음 페이저 다이어그램 에 대한 이 튜토리얼을 조금 요약해 보겠습니다 .

가장 간단한 용어로, 페이저 다이어그램은 순간 값을 나타내는 수평 축에 회전 벡터를 투영한 것입니다. 페이저 다이어그램은 모든 순간과 모든 각도를 나타내기 위해 그려질 수 있으므로 교번량의 기준 페이저는 항상 양의 x축 방향을 따라 그려집니다.

• 벡터, 위상기 및 위상기 다이어그램은 정현파 AC 교류량에만 적용됩니다.
• 페이저 다이어그램(Phasor Diagram)은 어느 순간에나 두 개 이상의 정상 정현파 양을 나타내는 데 사용할 수 있습니다.
• 일반적으로 기준 페이저는 수평축을 따라 그려지고 그 순간 다른 페이저는 그려집니다. 모든 페이저는 수평 영점 축을 기준으로 그려집니다.
• 세 개 이상의 정현파를 나타내기 위해 페이저 다이어그램을 그릴 수 있습니다. 전압, 전류 또는 기타 교번량이 될 수 있지만 주파수는 모두 동일해야 합니다 .
• 모든 페이저는 시계 반대 방향으로 회전하여 그려집니다. 기준 페이저 앞의 모든 페이저는 "선도"라고 하고 기준 페이저 뒤의 모든 페이저는 "지연"이라고 합니다.
• 일반적으로 페이저의 길이는 최대값이 아닌 정현파 양의 rms 값을 나타냅니다.
• 서로 다른 주파수의 정현파는 벡터의 속도가 다르기 때문에 동일한 페이저 다이어그램에 표시될 수 없습니다. 어떤 순간에도 그들 사이의 위상각은 다를 것입니다.
• 두 개 이상의 벡터를 함께 더하거나 빼면 결과 벡터 라고 하는 단일 벡터가 될 수 있습니다 .
• 벡터의 가로 변은 실수 벡터 또는 "x" 벡터와 같습니다. 벡터의 세로 변은 허수 벡터 또는 "y" 벡터와 같습니다. 결과로 생성된 직각삼각형의 빗변은 "r" 벡터와 동일합니다.
• 3상 평형 시스템에서 각 개별 페이저는 120 ° 만큼 변위됩니다 .

AC 이론 에 대한 다음 튜토리얼에서는 정현파를 직사각형 형태, 극형 형태 및 지수 형태의 복소수로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다.