복소수 및 페이저에대해 아라보자자자아!!!싹다김치

복소수 및 페이저

저항, 전류 또는 DC 전압을 더하기 위해 전기 공학에서 사용되는 수학은 실수라고 불리는 것을 사용합니다.

그러나 실수는 특히 주파수 종속 정현파 소스 및 벡터를 처리할 때 사용해야 하는 유일한 종류의 숫자는 아닙니다. 일반 숫자나 실수를 사용하는 것뿐만 아니라 음수의 제곱근인 숫자( √ -1 ) 를 사용하여 복잡한 방정식을 풀 수 있도록 복소수(Complex Numbers)가 도입되었습니다 .

전기 공학에서는 이러한 유형의 숫자를 "허수"라고 하며 허수와 실수를 구별하기 위해 전기 공학에서 일반적으로 j 연산자 로 알려진 문자 " j " 가 사용됩니다. 따라서 문자 " j "는 허수 연산을 나타내기 위해 실수 앞에 배치됩니다.

허수의 예는 다음과 같습니다: j3 , j12 , j100 등. 그런 다음 복소수는 별개이지만 매우 관련된 두 부분인 "실수"와 "허수"로 구성됩니다.

복소수는 두 개의 서로 다른 축을 참조하는 2차원 복소수 또는 s 평면의 점을 나타냅니다. 가로축을 "실수축", 세로축을 "허수축"이라고 합니다. 복소수의 실수부와 허수부는 각각 Re(z)와 Im(z)로 축약됩니다.

 

실수(활성 구성 요소)와 허수(반응 구성 요소)로 구성된 복소수는 기본 대수학을 사용하여 DC 회로를 분석하는 것과 똑같은 방식으로 더하고 빼고 사용할 수 있습니다 .

허수의 덧셈이나 뺄셈을 위해 수학에서 사용되는 규칙과 법칙은 실수의 j2 + j4 = j6 등과 동일합니다. 유일한 차이점은 두 개의 허수를 곱하면 음의 실수가 되기 때문에 곱셈에 있습니다. 실수는 j0으로 표시된 허수부가 0인 복소수로 간주될 수도 있습니다.

j 연산자 의 값은 정확히 √ -1 이므로 "  j  ", (  j x j  ) 를 연속적으로 곱하면 j는 -1 , -j 및 +1 값을 갖게 됩니다 . j 연산자는 벡터의 시계 반대 방향 회전을 나타내는 데 일반적으로 사용되므로 "  j  ", j 2 , j 3 등의 각 연속 곱셈 또는 거듭제곱은 벡터가 시계 반대 방향으로 고정된 각도 90 ° 만큼 회전하도록 강제합니다. 아래 그림과 같이 방향을 지정합니다. 마찬가지로, 벡터의 곱셈으로 인해  -j  연산자가 생성되면 위상 편이는 -90o , 즉 시계 방향 회전이 됩니다 .

j 연산자의 벡터 회전

 

따라서 허수에 j 2를 곱 하면 벡터가 시계 반대 방향으로   180o 회전 하고, j 3을 곱하면 270o 회전   하고 j 4를 곱 하면 360o 회전하거나   원래 위치로 돌아갑니다 . j 10 또는 j 30 을 곱하면 벡터가 적절한 양만큼 시계 반대 방향으로 회전하게 됩니다. 연속적인 각 회전에서 벡터의 크기는 항상 동일하게 유지됩니다.

전기 공학에는 그래픽이나 수학적으로 복소수를 표현하는 다양한 방법이 있습니다. 코사인 및 사인 규칙을 사용하는 방법 중 하나를 데카르트 형식 또는 직사각형 형식 이라고 합니다 .

직사각형 형식을 사용하는 복소수

Phasors 에 대한 마지막 튜토리얼에서 우리는 복소수가 다음과 같은 일반화된 형식을 취하는 실수 부분과 허수 부분으로 표현된다는 것을 보았습니다.

• 어디:
•   Z   – 벡터를 나타내는 복소수입니다.
•   x   – 실수 부분 또는 활성 구성 요소입니다.
•   y   – 허수 부분 또는 반응성 구성 요소입니다.
•   j – √ -1   로 정의됩니다.

직사각형 형태에서 복소수는 복소수 또는 s-평면 이라고 하는 2차원 평면 위의 점으로 표시될 수 있습니다 . 예를 들어, Z = 6 + j4는 표시된 대로 좌표가 수평 실수 축에서 6, 수직 허수 축에서 4를 나타내는 단일 점을 나타냅니다.

복소수 또는 s-평면을 사용한 복소수

 

그러나 직사각형 형태의 복소수의 실수 부분과 허수 부분은 모두 양수이거나 음수일 수 있으므로 실수 축과 허수 축은 모두 양수와 음수 방향으로 확장되어야 합니다. 그러면 아래와 같이 Argand Diagram 이라는 4개의 사분면이 있는 복잡한 평면이 생성됩니다.

4사분면 아르간드 다이어그램

 

Argand 다이어그램에서 가로 축은 세로 허수 축 오른쪽에 있는 모든 양의 실수를 나타내고 세로 허수 축 왼쪽에 있는 모든 음의 실수를 나타냅니다. 모든 양의 허수는 가로 축 위에 표시되고 모든 음의 허수는 가로 실수 축 아래에 표시됩니다. 그러면 QI , QII , QIII 및 QIV 로 표시된 4개의 개별 사분면이 있는 2차원 복합 평면이 생성됩니다 .

 

위의 Argand 다이어그램은 페이저의 크기에 의해 반지름이 제공되는 복소 평면의 한 점으로 회전 페이저를 나타내는 데 사용할 수도 있으며 2π/Ω 초마다 주위에 완전한 원을 그립니다.

그런 다음 이 아이디어를 더 확장하여 90 ° 회전에 대한 극좌표 및 직사각형 형식의 복소수의 정의를 표시할 수 있습니다 .

 

복소수는 Z = 6 + j0 또는 Z = 0 + j4 와 같이 "0" 실수 또는 허수 부분을 가질 수도 있습니다 . 이 경우 점은 실제 축이나 가상 축에 직접 표시됩니다. 또한 복소수의 각도는 간단한 삼각법을 사용하여 직각 삼각형의 각도를 계산하거나 양의 실수 축에서 시작하여 Argand 다이어그램을 중심으로 시계 반대 방향으로 측정할 수 있습니다.

그러면 0에서 90o 사이의 각도는 첫 번째 사분면( I ) 에 있고   ,   90o에서 180o 사이의 각도(θ) 는 두 번째 사분면(  II  )에 있습니다. 세 번째 사분면(  III  )에는 180°와 270 ° 사이의 각도가 포함되고, 전체 원을 완성하는 네 번째이자 마지막 사분면(  IV )에는 270°와 360 °  사이의 각도가 포함됩니다 . 4개 사분면 모두에서 관련 각도는 다음에서 찾을 수 있습니다.

tan -1 (허수성분 ¼ 실수성분)

복소수의 덧셈과 뺄셈

복소수의 덧셈이나 뺄셈은 수학적으로나 직사각형 형태의 그래픽을 통해 수행할 수 있습니다. 또한, 실수부를 먼저 더해 합의 실수부를 형성한 다음, 허수부를 합하여 허수부를 형성하며, 이 과정은 두 개의 복소수 A 와 B 를 예로 들어 다음과 같습니다.

복잡한 덧셈과 뺄셈

복소수 예제 No1

두 벡터는 각각 A = 4 + j1 및 B = 2 + j3 으로 정의됩니다 . 직사각형( a + jb  ) 형태와 Argand 다이어그램 그래픽으로 두 벡터의 합과 차이를 결정합니다  .

수학적 덧셈과 뺄셈

덧셈

 

빼기

 

그래픽 덧셈과 뺄셈

복소수의 곱셈과 나눗셈

직사각형 형태의 복소수의 곱셈은 j 연산자의 연속적인 곱셈에 대한 몇 가지 추가 규칙과 함께 일반 대수학의 경우와 거의 동일한 규칙을 따릅니다. 여기서: j 2  = -1 . 예를 들어, 위에서 A = 4 + j1 과 B = 2 + j3 의 두 벡터를 곱하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

 

수학적으로 직사각형 형태의 복소수 나눗셈은 방정식의 분모를 실수로 변환하기 위해 분모 공액 함수를 사용해야 하기 때문에 수행하기가 조금 더 어렵습니다. 이것을 '합리화'라고 합니다. 그런 다음 복소수의 나눗셈은 나중에 살펴보게 될 "극형"을 사용하여 가장 잘 수행됩니다. 그러나 직사각형 형태의 예로서 벡터 A 를 벡터 B 로 나눈 값을 찾을 수 있습니다 .

복잡한 활용체

복소 켤레(Complex Conjugate ) 또는 단순히 복소수의 켤레는 실수의 대수 기호를 동일하게 유지하면서 복소수 허수의 대수 기호를 반전하여 구하며 z의 복소 켤레를 식별하기 위해 기호 z 가 사용 됩니다. 예를 들어, z = 6 + j4 의 켤레는 z  = 6 – j4 이고 , 마찬가지로 z = 6 – j4 의 켤레는 z  = 6 + j4 입니다 .

켤레 복소수에 대한 Argand 다이어그램의 점은 실수 축에서 원래 복소수와 동일한 수평 위치를 갖지만 수직 위치는 반대입니다. 따라서 복소공액은 복소수의 반영으로 생각할 수 있습니다. 다음 예에서는 복소수 6 + j4 와 복소 평면의 공액을 보여줍니다.

켤레 복소수

 

위에서 본 것처럼 복소수와 복소수 켤레의 합은 항상 실수입니다. 그런 다음 복소수와 그 공액을 더하면 실수 또는 활성 구성 요소로만 결과가 제공되고, 이를 빼면 허수 또는 반응 구성 요소만 제공됩니다. 복소수의 공액은 직사각형 형태를 사용하여 AC 회로의 피상 전력을 결정하기 위해 전기 공학에서 사용되는 중요한 요소입니다.

극형을 사용한 복소수

복소 평면에 점을 그리는 직사각형 형태와 달리 복소수 의 극형은 크기와 각도로 작성됩니다. 따라서 극형 벡터는 다음과 같이 표시됩니다:   Z = A ∠±θ 여기서: Z 는 극형의 복소수이고, A 는 벡터의 크기 또는 모듈로이고 θ 는 A 의 각도 또는 인수이며 다음 중 하나일 수 있습니다. 긍정적이든 부정적이든. 점의 크기와 각도는 여전히 위의 직사각형 형태와 동일하게 유지됩니다. 이번에는 극 형태에서 점의 위치는 아래와 같이 "삼각형 형태"로 표시됩니다.

복소수의 극형 표현

 

점의 극좌표 표현은 삼각형 형태를 기반으로 하기 때문에 삼각형의 간단한 기하학, 특히 삼각법과 삼각형에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여 복소수의 크기와 각도를 모두 찾을 수 있습니다. 학교에서 기억했듯이 삼각법은 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루므로 변 사이의 관계를 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

 

다시 삼각법을 사용하면 A 의 각도 θ는 다음과 같이 주어진다.

 

그런 다음 극형에서는 A 의 길이 와 각도가 점 대신 복소수를 나타냅니다. 또한 극 형식에서 복소수의 켤레는 동일한 크기 또는 모듈러스를 가지며 이는 각도의 부호가 변경되므로 예를 들어 6 ∠30o 의 켤레는 6 ∠– 30o 가 됩니다 .

직사각형 형태와 극형 사이의 변환

직사각형 형태에서는 직사각형 좌표로 벡터를 표현할 수 있으며, 가로 축은 실제 축이고 세로 축은 가상 축 또는 j 구성요소입니다. 극좌표 형식에서 이러한 실수 축과 허수 축은 간단히 " A ∠θ "로 표시됩니다. 그런 다음 위의 예를 사용하여 직사각형 형태와 극형 사이의 관계를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

극형을 직사각형 형태로 변환, ( P→R )

 

다음과 같이 직사각형 형태를 극형 형태로 다시 변환할 수도 있습니다.

직사각형 형태를 극 형태로 변환, ( R→P )

극형 곱셈 및 나눗셈

위에서 본 것처럼 직사각형 형식은 복소수를 더하고 빼는 데 가장 적합하지만 극형 형식은 곱셈과 나눗셈에 더 적합한 경우가 많습니다. 극형의 두 벡터를 곱하려면 먼저 두 계수 또는 크기를 곱한 다음 각도를 더해야 합니다.

극형의 곱셈

 

6 ∠30o 와 8 ∠– 45o 를 극형으로 곱하면 다음과 같습니다.

극 형태의 분할

마찬가지로 두 벡터를 극좌표 형식으로 나누려면 두 모듈러스를 나눈 다음 그림과 같이 각도를 빼야 합니다.

 

다행스럽게도 오늘날의 현대 공학용 계산기에는 직사각형을 극형으로(  R → P  ) 쉽게 변환하고 다시 극형에서 직사각형으로(  R → P  ) 쉽게 변환할 수 있는 수학 함수(책 확인)가 내장되어 있습니다.

지수 형식을 사용한 복소수

지금까지 우리는 직사각형 형식 (  a + jb  )과 극형 (  A ∠±θ  )의 복소수를 고려했습니다. 그러나 정현파의 길이(크기) 및 위상각에 해당하는 극형과 유사하지만 자연 로그 e =  2.718 281 의 밑을 사용하여 복소수 를 표현 하는 세 번째 방법도 있습니다. 복소수의 값. 이 세 번째 방법을 지수 형식 이라고 합니다 .

지수 형식은 직각 삼각형 의 사인(  sin  ) 및 코사인(  cos  ) 값 모두의 삼각 함수를 사용하여 복소수 평면의 회전점으로 복소수 지수를 정의합니다. 점의 위치를 ​​찾는 지수 형식은 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름을 딴 오일러 항등식 (Euler's Identity) 을 기반으로 하며 다음과 같이 제공됩니다.

그러면 오일러의 항등식은 복소 평면에서 다음과 같은 회전 페이저 다이어그램으로 나타낼 수 있습니다.

 

오일러의 항등식은 위의 극형과 매우 유사하며, A e  jθ 와 같이 크기가 1인 숫자도 복소수임을 보여줍니다 . 지수 형식의 복소수를 2 e  j30  = 2∠30 , 10 e  j120  = 10∠120 또는 -6 e  j90  = -6∠90 과 같은 극형으로 쉽게 변환할 수 있을 뿐만 아니라 오일러의 항등식은 다음을 제공합니다. 우리는 복소수를 지수 형식에서 직사각형 형식으로 변환하는 방법을 제공합니다. 그런 다음 복소수를 정의할 때 지수형, 극형 및 직사각형 형식 간의 관계는 다음과 같이 제공됩니다.

복소수 형태

페이저 표기법

지금까지 우리는 복소수를 사용하여 회전 벡터나 정지 벡터를 표현하는 다양한 방법을 살펴보며 복소 평면의 점을 정의했습니다. 페이저 표기법은 주어진 정현파의 진폭과 위상각을 갖는 단일 복소수를 구성하는 프로세스입니다.

그런 다음 페이저 표기법 또는 페이저 변환(때때로 호출됨)은 정현파 함수의 실수 부분을 변환합니다. A (t)  = A m  cos(Ωt ± Φ) 시간 영역에서 주파수 영역이라고도 하는 복소수 영역으로 . 예를 들어:

√ 2는 최대 진폭을 라디안(  Ω )으로 주어진 위상각을 사용하여 유효 또는 RMS 값으로 변환한다는 점에 유의하십시오  .

복소수 요약

그런 다음 복소수 및 전기 공학에서의 복소수 사용 에 대한 이 튜토리얼을 요약합니다 .

• 복소수는 실수와 허수라는 두 개의 고유한 숫자로 구성됩니다.
• 허수는 j 연산자를 사용하여 실수와 구별됩니다.
• 앞에 문자 " j "가 있는 숫자는 복소 평면의 허수임을 식별합니다.
• 정의에 따르면, j-연산자 j = √ -1
• 허수는 실수와 마찬가지로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기가 가능합니다.
• " j "와 " j "를 곱 하면 j 2  = -1이 됩니다.
• 직사각형 형태에서 복소수는 복소평면 위 공간의 한 점으로 표현됩니다.
• 극형(Polar Form)에서 복소수는 길이가 진폭이고 위상각인 선으로 표시됩니다.
• 지수 형식에서 복소수는 자연 로그의 밑을 사용하는 선과 해당 각도로 표시됩니다.
• 복소수는 다음 세 가지 방법 중 하나로 표현될 수 있습니다.
  • Z = x + jy    » 직사각형 형태
  • Z = A ∠Φ    » 극형
  • Z = A  e  jΦ    » 지수 형식
• 오일러 항등식은 복소수를 지수 형식에서 직사각형 형식으로 변환하는 데 사용할 수 있습니다.

이 튜토리얼을 포함한 이전 튜토리얼에서 우리는 페이저를 사용하여 정현파 파형을 나타낼 수 있고 진폭과 위상 각도가 복소수 형태로 기록될 수 있다는 것을 보았습니다. 또한 복소수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 포함한 각 복소수 대수 형식 간의 변환을 통해 직사각형, 극형 또는 지수 형식으로 표시될 수 있음을 확인했습니다 .

AC 직렬 회로의 페이저 관계와 관련된 다음 몇 가지 튜토리얼에서는 일부 일반적인 수동 회로 구성 요소의 임피던스를 살펴보고 구성 요소를 통해 흐르는 전류와 AC에서 시작하여 구성 요소에 적용되는 전압 모두에 대한 페이저 다이어그램을 그릴 것입니다. 저항.