드모건의 정리

드모건의 정리

DeMorgan의 정리와 법칙을 사용하여 NAND 및 NOR 게이트의 등가성을 찾을 수 있습니다.

DeMorgan의 정리는 OR을 AND 로 , AND를 OR 로 변경하여 다양한 부울 대수식을 풀기 위해 두 세트의 규칙 또는 법칙을 사용합니다.

부울 대수학은 일련의 법칙과 규칙을 사용하여 디지털 입력 또는 출력 조건을 나타내는 데 사용되는 "0"과 "1"을 사용하여 디지털 논리 회로의 작동을 정의합니다. 부울 대수학은 이러한 0과 1을 사용하여 논리 AND , OR 및 NOT (또는 반전) 연산의 디지털 연산뿐만 아니라 XOR (Exclusive-OR) 과 같은 다른 논리 연산을 표현하는 방법 을 정의하는 진리표와 수학적 표현을 생성 합니다. 기능.

George Boole의 일련의 법칙과 규칙을 통해 우리는 디지털 회로를 분석하고 단순화할 수 있지만 그의 세트에는 논리적 NAND 및 NOR 연산을 별도의 NOT AND 로 보는 Augustus DeMorgan (19세기 영국 수학자) 의 두 가지 법칙이 있습니다 . 및 NOT OR 함수를 각각 사용합니다.

그러나 DeMorgan의 이론을 더 자세히 살펴보기 전에 A 와 B 가 논리(또는 부울) 입력 이진 변수이고 그 값이 " 0 " 또는 " 1 "일 수 있는 기본 논리 연산을 상기시켜 보겠습니다. 입력 조합 00 , 01 , 10 및 11 .

 

각 논리 연산의 진리표

입력변수		출력 조건
ㅏ	비	그리고	낸드	또는	도 아니다
0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0
1	1	1	0	1	0

다음 표에는 일반적인 논리 함수 목록과 해당 부울 표기법이 나와 있습니다 . "(점)은 AND (곱) 연산을 의미하고, " + "(더하기 기호)는 OR (합) 연산을 의미하며 , 변수의 보수 또는 역수는 변수 위에 막대로 표시됩니다.

논리 기능	부울 표기법
그리고	AB
또는	A+B
아니다	ㅏ
낸드	A .B
도 아니다	A+B

드모건의 이론

DeMorgan의 정리는 기본적으로 두 개의 입력 변수 A 와 B 를 사용하여 AND , OR 및 NOT 에 대한 부울 표현식에서 개발된 두 가지 규칙 또는 법칙입니다 . 이 두 가지 규칙 또는 정리를 사용하면 입력 변수를 부정하고 부울 함수의 한 형식에서 반대 형식으로 변환할 수 있습니다.

DeMorgan의 첫 번째 정리는 두 개(또는 그 이상)의 변수를 함께 NOR'한 것은 두 변수를 반전(보완)하고 AND'한 것과 동일하다고 명시하는 반면, 두 번째 정리는 두 개(또는 그 이상)의 변수를 함께 NAND'한 것은 동일하다고 명시합니다. 두 용어가 반전(보완)되고 OR'됨. 즉, 모든 OR 연산자를 AND 연산자로 바꾸거나 모든 AND 연산자를 OR 연산자로 바꿉니다.

드모건의 첫 번째 정리

DeMorgan의 첫 번째 정리는 두 개 이상의 입력 변수가 AND' 되고 부정될 때 개별 변수의 보수 OR 과 동일하다는 것을 증명합니다. 따라서 NAND 함수 와 동등한 것은 음의 OR 함수가 되어 AB  =  A + B 임을 증명합니다 . 다음 표를 사용하여 이 작업을 표시할 수 있습니다.

진리표를 사용하여 DeMorgan의 첫 번째 정리 검증

입력		각 항에 대한 진리표 출력
비	ㅏ	AB	AB	ㅏ	비	A  +  B
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	0	0	0	0

 

또한 그림과 같이 논리 게이트를 사용하여 AB  =  A + B 임을 보여줄 수도 있습니다 .

논리 게이트를 사용한 DeMorgan의 제1법칙 구현

 

AB 의 상단 논리 게이트 배열은 입력 A 및 B 가 있는 표준 NAND 게이트를 사용하여 구현될 수 있습니다 . 하부 논리 게이트 배열은 먼저 A 와 B 를 생성하는 두 입력을 반전시킵니다 . 그런 다음 OR 게이트 의 입력이 됩니다 . 따라서 OR 게이트 의 출력은 다음과 같습니다. A + B

그러면 여기서 각 입력에 인버터(게이트 아님)가 있는 표준 OR 게이트 기능이 NAND 게이트 기능과 동일하다는 것을 알 수 있습니다 . 따라서 개별 NAND 게이트는 NAND 게이트 의 등가성이 음의 OR이므로 이러한 방식으로 표현될 수 있습니다.

드모건의 두 번째 정리

DeMorgan의 두 번째 정리는 두 개 이상의 입력 변수가 OR 로 연결되고 부정될 때 개별 변수의 보수 AND 와 동일하다는 것을 증명합니다. 따라서 NOR 함수 와 동등한 것은 A+B  =  A 임을 증명하는 음의 AND 함수입니다 . B , 그리고 다시 다음 진리표를 사용하여 이 연산을 보여줄 수 있습니다.

진리표를 사용하여 DeMorgan의 두 번째 정리 검증

입력		각 항에 대한 진리표 출력
비	ㅏ	A+B	A+B	ㅏ	비	ㅏ  . 비
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0

 

A+B  =  A 임을 보여줄 수도 있습니다 . B 다음 논리 게이트 예제를 사용합니다.

논리 게이트를 사용한 DeMorgan의 제2법칙 구현

 

A+B 의 최상위 논리 게이트 배열은 입력 A 및 B를 사용하는 표준 NOR 게이트 기능을 사용하여 구현할 수 있습니다 . 하부 논리 게이트 배열은 먼저 두 입력을 반전시켜 A 와 B를 생성합니다 . 따라서 AND 게이트의 입력이 됩니다. 따라서 AND 게이트 의 출력은 다음과 같습니다. A . 비

그런 다음 각 입력에 인버터(게이트 아님)가 있는 표준 AND 게이트 기능이 표준 NOR 게이트 기능 과 동일한 출력 조건을 생성 하고 개별 NOR 게이트가 이러한 방식으로 NOR 의 등가성으로 표시될 수 있음을 알 수 있습니다. 게이트는 음의 AND입니다.

두 개의 입력 변수 A 와 B 에만 DeMorgan의 정리를 사용했지만 3개, 4개 이상의 입력 변수 표현식에도 동일하게 유효합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

 

3변수 입력의 경우

 

ABC  =  A + B + C

그리고 또한

A+B+C  =  A . 비 . 씨

4변수 입력의 경우

 

ABCD  =  A + B + C + D

그리고 또한

A+B+C+D  =  A . 비 . 씨 . 디

등등.

DeMorgan의 등가 게이츠

여기서는 DeMorgan의 정리를 사용하여 모든 AND ( . ) 연산자를 OR ( + )로 대체하거나 그 반대로 대체할 수 있다는 것을 확인했습니다. 그런 다음 표현식의 각 용어 또는 변수를 0에서 0으로 반전하여 보완합니다. 전체 함수를 반전시키기 전에 1과 1을 0으로 만듭니다.

따라서 AND , NAND , OR 또는 NOR 게이트 에 해당하는 DeMorgan을 얻으려면 모든 입력 및 출력에 인버터(NOT 게이트)를 추가하고 AND 기호를 OR 기호로 변경하거나 OR 기호를 AND 기호 로 변경하면 됩니다. 다음 표에 나와 있습니다.

DeMorgan의 등가 게이츠

표준 논리 게이트	DeMorgan의 등가 게이트

그런 다음 DeMorgan의 Thereom에 대한 이 튜토리얼에서 두 개(또는 그 이상) AND'ed 입력 변수 의 보수는 이러한 변수 보수의 OR 과 동일하며 두 개(또는 그 이상) OR'ed 변수 의 보수는 DeMorgan 이 정의한 변수 보수의 AND 와 동일합니다 .